fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קיצון מקומי – מכפלה של פונקציות עם e – תרגיל 6527

תרגיל 

מצאו את נקודות הקיצון (אקסטרמום) המקומיות של הפונקציה:

z(x,y)=e^{\frac{x}{2}}(x+y^2)

תשובה סופית


(-2,0)

פתרון

נתונה הפונקציה:

z(x,y)=e^{\frac{x}{2}}(x+y^2)

נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

z'_x(x,y)=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}(x+y^2)+e^{\frac{x}{2}}=0

z'_y(x,y)=e^{\frac{x}{2}\cdot 2y}=0

קיבלנו מערכת משוואות:

\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}(x+y^2)+e^{\frac{x}{2}}=0

e^{\frac{x}{2}\cdot 2y}=0

נסדר אותה:

e^{\frac{x}{2}}(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y^2+1)=0

2ye^{\frac{x}{2}}=0

מהמשוואה הראשונה מקבלים:

\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y^2+1=0

מהמשוואה השנייה מקבלים:

y=0

נציב במשוואה הראשונה:

\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\cdot 0^2+1=0

\frac{1}{2}x=-1

x=-2

קיבלנו נקודה חשודה:

(-2,0)

נבדוק אם היא נקודת מינימום, מקסימום או אוכף. לשם כך, נחשב את הנגזרות השניות:

A=z''_{xx}(x,y)=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y^2+1)+\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}=

=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y^2+2)

B=z''_{yx}(x,y)=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}\cdot 2y=ye^{\frac{x}{2}}

C=z''_{yy}(x,y)=2e^{\frac{x}{2}}

כעת, נחשב את סוג הנקודה לפי הנוסחה:

D=AC-B^2

נציב את הנגזרות בנוסחה:

D=(\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y^2+2))\cdot (2e^{\frac{x}{2}})-{(ye^{\frac{x}{2}})}^2

נציב את הנקודה ב-D ונקבל:

D(-2,0)=(\frac{1}{2}e^{\frac{-2}{2}}(\frac{1}{2}\cdot (-2)+\frac{1}{2}\cdot 0^2+2))\cdot (2e^{\frac{-2}{2}})-{(0\cdot e^{\frac{-2}{2}})}^2=

=(\frac{1}{2}e^{-1}(-1+2))\cdot (2e^{-1})=

=(\frac{1}{2}e^{-1})\cdot (2e^{-1})=

=e^{-1}\cdot e^{-1}=

=\frac{1}{e^2}>0

קיבלנו ש-D חיובי בנקודה, ולכן נבדוק את A:

A(-2,0)=\frac{1}{2}e^{\frac{-2}{2}}(\frac{1}{2}\cdot (-2)+\frac{1}{2}\cdot 0^2+2)=

=\frac{1}{2}e^{-1}(-1+2)=

=\frac{1}{2}e^{-1}=

=\frac{1}{2e}>0

לכן, זו נקודת מינימום.

אפשר לחשב את ערך הפונקציה בנקודה:

z(-2,0)=\frac{1}{e}(-2+0)=-\frac{2}{e}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה