fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

קיצון מקומי – פונקציה עם ln – תרגיל 3419

תרגיל 

מצאו את נקודות הקיצון (אקסטרמום) המקומיות של הפונקציה:

z(x,y)=(y-2)\ln (xy)

תשובה סופית


(\frac{1}{2},2)

פתרון

נתונה הפונקציה

z(x,y)=(y-2)\ln (xy)

נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

z'_x(x,y)=(y-2)\cdot\frac{y}{xy}=0

z'_y(x,y)=\ln(xy)+(y-2)\frac{x}{xy}=0

קיבלנו מערכת משוואות:

(y-2)\cdot\frac{y}{xy}=0

\ln(xy)+(y-2)\frac{x}{xy}=0

נפתור אותה. מהמשוואה הראשונה מקבלים:

(y-2)\cdot\frac{y}{xy}=0

(y-2)\cdot\frac{1}{x}=0

\frac{y-2}{x}=0

y-2=0

y=2

ומהמשוואה השנייה מקבלים:

\ln(xy)+(y-2)\frac{x}{xy}=0

\ln(xy)+(y-2)\frac{1}{y}=0

\ln(xy)+\frac{y-2}{y}=0

נציב y=2 ונקבל:

\ln(2x)+\frac{2-2}{2}=0

\ln(2x)=0

2x=1

x=\frac{1}{2}

קיבלנו נקודה אחת מועמדת לקיצון – הנקודה

(\frac{1}{2},2)

נבדוק אם היא נקודת מינימום, מקסימום או אוכף. לשם כך, נחשב את הנגזרות השניות:

A=z''_{xx}(x,y)=(y-2)\cdot \frac{-1}{x^2}

B=z''_{yx}(x,y)=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}

C=z''_{yy}(x,y)=\frac{x}{xy}+\frac{2}{y^2}=\frac{1}{y}+\frac{2}{y^2}

כעת, נחשב את סוג הנקודה לפי הנוסחה:

D=AC-B^2

נציב את הנגזרות בנוסחה:

D=(y-2)\cdot \frac{-1}{x^2}\cdot (\frac{1}{y}+\frac{2}{y^2})-{(\frac{1}{x})}^2

נציב את הנקודה ב-D ונקבל:

D(\frac{1}{2},2)=(2-2)\cdot \frac{-1}{({\frac{1}{2})}^2}\cdot (\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2})-{(\frac{1}{\frac{1}{2}})}^2=

D(\frac{1}{2},2)=0\cdot1-2^2=-4<0

קיבלנו ש-D שלילי בנקודה, ולכן היא נקודת אוכף.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?