fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

קיצון מקומי – פונקציה עם שורש – תרגיל 3424

תרגיל 

מצאו את נקודות הקיצון (אקסטרמום) המקומיות של הפונקציה:

z(x,y)=y\sqrt{x}-y^2-x+6y

תשובה סופית


(4,4)

פתרון

נתונה הפונקציה

z(x,y)=y\sqrt{x}-y^2-x+6y

נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

z'_x(x,y)=y\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-1=0

z'_y(x,y)=\sqrt{x}-2y+6=0

קיבלנו מערכת משוואות:

y\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-1=0

\sqrt{x}-2y+6=0

נפתור אותה. נסדר את המשוואות:

\frac{y}{2\sqrt{x}}=1

\sqrt{x}-2y=-6

מהמשוואה הראשונה מקבלים:

\frac{y}{2\sqrt{x}}=1

y=2\sqrt{x}

נציב במשוואה השנייה ונקבל:

\sqrt{x}-2\cdot 2\sqrt{x}=-6

\sqrt{x}-4\sqrt{x}=-6

-3\sqrt{x}=-6

\sqrt{x}=2

x=4

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:

y=2\sqrt{4}

y=4

קיבלנו נקודה אחת מועמדת לקיצון – הנקודה (4,4). נבדוק אם היא נקודת מינימום, מקסימום או אוכף. לשם כך, נחשב את הנגזרות השניות:

A=z''_{xx}(x,y)=\frac{y}{2}\cdot (\frac{-1}{2})x^{-\frac{3}{2}}

=\frac{-y}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^3}}

B=z''_{xy}(x,y)=z''_yx(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

C=z''_{yy}(x,y)=-2

כעת, נחשב את סוג הנקודה לפי הנוסחה:

D=AC-B^2

נציב את הנגזרות בנוסחה:

D=\frac{-y}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^3}}\cdot (-2)-{(\frac{1}{2\sqrt{x}})}^2

נציב את הנקודה ב-D ונקבל:

D(4,4)=\frac{-4}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{4^3}}\cdot (-2)-{(\frac{1}{2\sqrt{4}})}^2=

=\frac{2}{\sqrt{4^3}}-\frac{1}{16}=\frac{3}{16}>0

קיבלנו ש-D חיובי בנקודה. לכן, נחשב את הערך של A בנקודה:

A(4,4)=\frac{-4}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{4^3}}=

=(-1)\cdot \frac{1}{\sqrt{4^3}}=-\frac{1}{8}<0

A שלילי בנקודה (4,4), ולכן היא נקודת מקסימום.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?