fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קיצון מקומי – פונקציה עם משתנים בבסיס וחזקות קבועות – תרגיל 3429

תרגיל 

מצאו את נקודות הקיצון (אקסטרמום) המקומיות של הפונקציה:

z(x,y)=x^3-y^3-3xy

תשובה סופית


(0,0),(-1,1)

פתרון

נתונה הפונקציה

z(x,y)=x^3-y^3-3xy

נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

z'_x(x,y)=3x^2-3y=0

z'_y(x,y)=-3y^2-3x=0

קיבלנו מערכת משוואות:

3x^2-3y=0

-3y^2-3x=0

נפתור אותה. נסדר את המשוואות:

x^2-y=0

y^2+x=0

מהמשוואה הראשונה מקבלים:

x^2-y=0

y=x^2

נציב במשוואה השנייה ונקבל:

{(x^2)}^2+x=0

x^4+x=0

x(x^3+1)=0

מקבלים שתי אפשרויות. אפשרות ראשונה, x=0 ואפשרות שנייה:

x^3+1=0

x^3=-1

x=-1

נציב את הפתרונות במשוואה הראשונה ונקבל:

y=x^2

y(x=0)=0^2=0

y(x=-1)={(-1)}^2=1

קיבלנו שתי נקודות מועמדות לקיצון – (0,0), (1,1-). נבדוק אם הן נקודות מינימום, מקסימום או אוכף. לשם כך, נחשב את הנגזרות השניות:

A=z''_{xx}(x,y)=6x

B=z''_{xy}(x,y)=z''_yx(x,y)=-3

C=z''_{yy}(x,y)=-6y

כעת, נחשב את סוג הנקודות לפי הנוסחה:

D=AC-B^2

נציב את הנגזרות בנוסחה:

D=6x\cdot (-6y)-{(-3)}^2

נציב את הנקודה (0,0) ב-D ונקבל:

D(0,0)=6\cdot 0\cdot (-6\cdot 0)-{(-3)}^2=0-9=-9<0

קיבלנו ש-D שלילי בנקודה. לכן, היא נקודת אוכף.

נציב את הנקודה (1,1-) ב-D ונקבל:

D(-1,1)=6\cdot (-1)\cdot (-6\cdot 1)-{(-3)}^2=12-9=3>0

קיבלנו ש-D חיובי בנקודה. לכן, נבדוק את ערך A בנקודה:

A(-1,1)=6\cdot (-1)=-6<0

A שלילי בנקודה, ולכן היא נקודת מקסימום.

לסיכום, הנקודה (0,0) היא נקודת אוכף והנקודה (1,1-) היא נקודת מקסימום

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה