fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קיצון מקומי – פונקציה עם שורש – תרגיל 3437

תרגיל 

מצאו את נקודות הקיצון (אקסטרמום) המקומיות של הפונקציה:

z(x,y)=1-\sqrt{{(x^2+y^2)}^3}

תשובה סופית


(0,0)

פתרון

נתונה הפונקציה:

z(x,y)=1-\sqrt{{(x^2+y^2)}^3}=1-{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}

נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

z'_x(x,y)=-\frac{3}{2}{(x^2+y^2)}^{\frac{1}{2}}\cdot 2x=0

z'_y(x,y)=-\frac{3}{2}{(x^2+y^2)}^{\frac{1}{2}}\cdot 2y=0

קיבלנו מערכת משוואות:

-\frac{3}{2}{(x^2+y^2)}^{\frac{1}{2}}\cdot 2x=0

-\frac{3}{2}{(x^2+y^2)}^{\frac{1}{2}}\cdot 2y=0

נסדר אותה:

-3x\sqrt{x^2+y^2}=0

-3y\sqrt{x^2+y^2}=0

רק נקודה אחת פותרת את שתי המשוואות והיא מועמדת לקיצון – הנקודה (0,0). נבדוק אם היא נקודת מינימום, מקסימום או אוכף. לשם כך, נחשב את הנגזרות השניות:

A=z''_{xx}(x,y)=-3\sqrt{x^2+y^2}-3x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2x=

=\frac{-3(x^2+y^2)-3x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=

=\frac{-6x^2-3y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}

B=z''_{xy}(x,y)=-3x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2y=

=\frac{-3xy}{\sqrt{x^2+y^2}}

C=z''_{yy}(x,y)=-3\sqrt{x^2+y^2}-3y\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2y=

=\frac{-3(x^2+y^2)-3y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=

=\frac{-3x^2-6y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}

כעת, נחשב את סוג הנקודה לפי הנוסחה:

D=AC-B^2

נציב את הנגזרות בנוסחה:

D=\frac{-6x^2-3y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \frac{-3x^2-6y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}-{(\frac{-3xy}{\sqrt{x^2+y^2}})}^2=

=\frac{(-6x^2-3y^2)(-3x^2-6y^2)}{x^2+y^2}-\frac{9x^2y^2}{x^2+y^2}=

=\frac{18x^4+36x^2y^2+9x^2y^2+18y^4-9x^2y^2}{x^2+y^2}=

=\frac{18(x^4+2x^2y^2+y^4)}{x^2+y^2}=

=\frac{18{(x^2+y^2)}^2}{x^2+y^2}=

=18(x^2+y^2)

נציב את הנקודה ב-D ונקבל:

D(0,0)=18(0^2+0^2)=0

קיבלנו ש-D שווה לאפס בנקודה, ולכן לא ניתן לדעת על פי מבחן זה.

נתבונן בפונקציה:

z(x,y)=1-\sqrt{{(x^2+y^2)}^3}

נציב  את הנקודה ונקבל:

z(0,0)=1-\sqrt{{(0^2+0^2)}^3}=1-0=1

מכאן, ערך הפונקציה בנקודה המועמדת לקיצון הוא 1. כעת, נשים לב שכל נקודה אחרת תיתן ערך קטן מ-1, משום שהביטוי

\sqrt{{(0^2+0^2)}^3}\leq 0

ואחד פחות ביטוי חיובי תמיד ייתן מספר קטן מאחד. והביטוי שווה לאחד רק בנקודה שלנו. כלומר לכל נקודה השונה מהראשית מתקיים:

z(x,y)<1

ובנקודה עצמה מתקיים:

z(0,0)=1

מכאן, אפשר להסיק שהנקודה (0,0) היא נקודת מקסימום.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה