fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קיצון מוחלט (גלובלי) – תחום המורכב ממעגל – תרגיל 6538

תרגיל 

מצאו את הערך המקסימלי ואת הערך המינימלי של הפונקציה:

z(x,y)=x^2+y^2

בתחום:

D=\{ (x,y):x^2-2x+y^2-4y=0\}

תשובה סופית

\max_D z(2,4) = 20

\min_D z(0,0) =0

פתרון

נתונה הפונקציה:

z(x,y)=x^2+y^2

ראשית, נשרטט את התחום D. הוא נראה כך:

מעגל במישור XY

התחום D הוא המעגל המסומן בקו אדום.

שלב ראשון, נחפש נקודות חשודות לקיצון בתוך התחום D. אלה נקודות קיצון מקומיות. לכן, נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

z'_x(x,y)=2x=0

z'_y(x,y)=2y=0

קיבלנו מערכת משוואות:

2x=0

2y=0

הנקודה היחידה שפותרת את מערכת המשוואות היא הנקודה:

(0,0)

היא מקיימת את המשוואה ב-D, ולכן בתחום. מכאן, יש לנו נקודה חשודה לקיצון מוחלט.

שלב שני, נחפש נקודות חשודות לקיצון על השפה של התחום D:

x^2-2x+y^2-4y=0

התחום הוא מעגל ובידוד משתנה במשוואה לא יהיה קל, לכן לא נשתמש בשיטת ההצבה, אלא בשיטת כופלי לגרנז’. לשם כך, נגדיר את הפונקציה:

L(x,y,\lambda)=x^2+y^2+\lambda(x^2-2x+y^2-4y)

נחשב את הנגזרות החלקיות של הפונקציה שהגדרנו ונשווה אותן לאפס:

L'_x(x,y,\lambda)=2x+2\lambda x-2\lambda=0

L'_y(x,y,\lambda)=2y+2y\lambda y-4\lambda=0

L'_{\lambda}(x,y,\lambda)=x^2-2x+y^2-4y=0

הערה: הנגזרת לפי לאמדה היא פשוט האילוץ של התחום D.

נפתור את מערכת המשוואות שקיבלנו:

2x+2\lambda x-2\lambda=0

2y+2y\lambda y-4\lambda=0

x^2-2x+y^2-4y=0

נכפול בחצי את שתי המשוואות הראשונות:

x+\lambda x-\lambda=0

y+y\lambda y-2\lambda=0

x^2-2x+y^2-4y=0

נבודד את לאמדה במשוואה הראשונה:

x+\lambda x-\lambda=0

x=\lambda-\lambda x

x=\lambda(1- x)

\lambda=\frac{x}{1-x}

נבודד את לאמדה במשוואה השנייה:

y+y\lambda y-2\lambda=0

y=2\lambda-y\lambda y

y=\lambda(2-y)

\lambda=\frac{y}{2-y}

נשווה את המשוואות שקיבלנו:

\frac{x}{1-x}=\frac{y}{2-y}

2x-xy=y-xy

2x=y

נציב במשוואה השלישית:

x^2-2x+4x^2-8x=0

5x^2-10x=0

x^2-2x=0

x(x-2)=0

קיבלנו שתי אפשרויות. הראשונה,

x=0

השנייה,

x-2=0

x=2

נציב x=0 במשוואה 2x=y ונקבל:

2\cdot 0=y

0=y

קיבלנו נקודה חשודה לקיצון מוחלט:

(0,0)

נציב x=2 במשוואה 2x=y ונקבל:

2\cdot 2=y

4=y

קיבלנו נקודה נוספת חשודה לקיצון מוחלט:

(2,4)

שלב שלישי, נחפש נקודות חשודות לקיצון בקצוות, כלומר בחיבורים בין גבולות התחום D. אבל התחום שלנו הוא משוואה אחת של מעגל, ולכן אין נקודות חיתוך בין גבולות שונים.

שלב סופי, ניקח את כל הנקודות החשודות שמצאנו ושנמצאות בתחום D ונציב אותן בפונקציה:

z(0,0)=0^2+0^2=0

z(2,4)=2^2+4^2=20

הערך הגבוה ביותר הוא הערך המקסימלי:

\max_D z(2,4) = 20

והערך הנמוך ביותר הוא הערך המינימלי:

\min_D z(0,0) =0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה