fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קיצון מוחלט (גלובלי) – תחום המורכב ממעגל – תרגיל 6543

תרגיל 

מצאו את הערך המקסימלי ואת הערך המינימלי של הפונקציה:

z(x,y)=4x^2-4xy+y^2

בתחום:

D=\{ (x,y):x^2+y^2=25\}

תשובה סופית

\max_D z(-2\sqrt{5},\sqrt{5})=\max_D z(2\sqrt{5},-\sqrt{5})= 125

\min_D z(\sqrt{5},2\sqrt{5})=\min_D z(-\sqrt{5},-2\sqrt{5})=0

פתרון

נתונה הפונקציה:

z(x,y)=4x^2-4xy+y^2

ראשית, נשרטט את התחום D. הוא נראה כך:

מעגל במישור XY

התחום D הוא המעגל המסומן בקו אדום.

שלב ראשון, נחפש נקודות חשודות לקיצון בתוך התחום D. אלה נקודות קיצון מקומיות. לכן, נחשב את הנגזרות החלקיות ונשווה אותן לאפס:

z'_x(x,y)=8x-4y=0

z'_y(x,y)=-4x+2y=0

קיבלנו מערכת משוואות:

8x-4y=0

-4x+2y=0

נפתור אותה. נחלק את המשוואה הראשונה במינוס 2:

-4x+2y=0

-4x+2y=0

קיבלנו 2 משוואות זהות. נבודד את x:

2y=4x

y=2x

נציב באילוץ ונקבל:

x^2+{(2x)}^2=25

x^2+4x^2=25

5x^2=25

x^2=5

x=\pm\sqrt{5}

נציב במשוואה ונקבל:

y=2\sqrt{5}

נציב את הנקודה השנייה:

y=2\cdot (-\sqrt{5})=-2\sqrt{5}

קיבלנו את הנקודות החשודות:

(\sqrt{5},2\sqrt{5}),(-\sqrt{5},-2\sqrt{5})

שלב שני, נחפש נקודות חשודות לקיצון על השפה של התחום D:

x^2+y^2=25

התחום הוא מעגל ובידוד משתנה במשוואה לא יהיה קל, לכן לא נשתמש בשיטת ההצבה, אלא בשיטת כופלי לגרנז’. לשם כך, נגדיר את הפונקציה:

L(x,y,\lambda)=4x^2-4xy+y^2+\lambda(x^2+y^2-25)

נחשב את הנגזרות החלקיות של הפונקציה שהגדרנו ונשווה אותן לאפס:

L'_x(x,y,\lambda)=8x-4y+2\lambda x=0

L'_y(x,y,\lambda)=-4x+2y+2y\lambda=0

L'_{\lambda}(x,y,\lambda)=x^2+y^2-25=0

הערה: הנגזרת לפי לאמדה היא פשוט האילוץ של התחום D.

נפתור את מערכת המשוואות שקיבלנו:

8x-4y+2\lambda x=0

-4x+2y+2y\lambda=0

x^2+y^2=25

נכפול במינוס 2 את המשוואה הראשונה:

-4x+2y-\lambda x=0

-4x+2y+2y\lambda=0

x^2+y^2=25

משתי המשוואות הראשונות מקבלים:

-\lambda x=2y\lambda

-x=2y

x=-2y

נציב במשוואה השלישית ונקבל:

{(-2y)}^2+y^2=25

4y^2+y^2=25

5y^2=25

y^2=5

y=\pm \sqrt{5}

נציב במשוואה:

x=-2y

ונקבל:

x=-2\sqrt{5}

קיבלנו נקודה חשודה לקיצון מוחלט:

(-2\sqrt{5},\sqrt{5})

נציב את הנקודה השנייה:

x=-2\cdot (-\sqrt{5})=2\sqrt{5}

קיבלנו נקודה נוספת חשודה לקיצון מוחלט:

(2\sqrt{5},-\sqrt{5})

שלב שלישי, נחפש נקודות חשודות לקיצון בקצוות, כלומר בחיבורים בין גבולות התחום D. אבל התחום שלנו הוא משוואה אחת של מעגל, ולכן אין נקודות חיתוך בין גבולות שונים.

שלב סופי, ניקח את כל הנקודות החשודות שמצאנו ושנמצאות בתחום D ונציב אותן בפונקציה:

z(\sqrt{5},2\sqrt{5})=4\cdot {(\sqrt{5})}^2-4\cdot (\sqrt{5})\cdot (2\sqrt{5})+{(2\sqrt{5})}^2=0

z(-\sqrt{5},-2\sqrt{5})=4\cdot {(-\sqrt{5})}^2-4\cdot (-\sqrt{5})\cdot (-2\sqrt{5})+{(-2\sqrt{5})}^2=0

z(-2\sqrt{5},\sqrt{5})=4\cdot {(-2\sqrt{5})}^2-4\cdot (-2\sqrt{5})\cdot \sqrt{5}+{(\sqrt{5})}^2=125

z(2\sqrt{5},-\sqrt{5})=4\cdot {(2\sqrt{5})}^2-4\cdot (2\sqrt{5})\cdot (-\sqrt{5})+{(-\sqrt{5})}^2=125

הערך הגבוה ביותר הוא הערך המקסימלי:

\max_D z(-2\sqrt{5},\sqrt{5})=\max_D z(2\sqrt{5},-\sqrt{5})= 125

והערך הנמוך ביותר הוא הערך המינימלי:

\min_D z(\sqrt{5},2\sqrt{5})=\min_D z(-\sqrt{5},-2\sqrt{5})=0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה