fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא מסוים – מנה של פונקציות עם שורשים – תרגיל 6605

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int \frac{x-7}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+5}} dx

תשובה סופית


\int \frac{x-7}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+5}} dx=

=-\frac{1}{5}{(x+3)}^{\frac{5}{2}}+\frac{10}{3}{(x+3)}^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{5}{(x+5)}^{\frac{5}{2}}-4{(x+5)}^{\frac{3}{2}}+c

פתרון

אין לנו נוסחת אינטגרציה לפונקציה כזו. מכיוון שיש בפונקציה ביטוי מהצורה a-b ושני האיברים שורשים, נשתמש בשיטת הכפל בצמוד – נכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה ונקבל:

\int \frac{x-7}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+5}} dx=

=\int \frac{(x-7)(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+5})}{(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+5})(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+5})} dx=

=\int \frac{(x-7)(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+5})}{x+3-(x+5)} dx=

=\int \frac{(x-7)(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+5})}{x+3-x-5} dx=

=\int \frac{(x-7)(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+5})}{-2} dx=

=-\frac{1}{2}\int (x-7)(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+5}) dx=

נפצל לשני אינטגרלים:

=-\frac{1}{2}\int (x-7)\sqrt{x+3} dx+\frac{1}{2}\int (x-7)\sqrt{x+5} dx=

נפתור את האינטגרל הראשון:

-\frac{1}{2}\int (x-7)\sqrt{x+3} dx=

נסדר את האיבר הראשון במכפלה שיהיה דומה לאיבר בשורש:

=-\frac{1}{2}\int (x+3-10)\sqrt{x+3} dx=

=-\frac{1}{2}\int (x+3)\sqrt{x+3} dx-\frac{1}{2}\int (-10)\sqrt{x+3} dx=

=-\frac{1}{2}\int (x+3)\sqrt{x+3} dx+5\int \sqrt{x+3} dx=

נסדר את האיברים, כדי שנוכל להשתמש בנוסחאות האינטגרציה בקלות:

=-\frac{1}{2}\int {(x+3)}^{\frac{3}{2}} dx+5\int {(x+3)}^{\frac{1}{2}} dx=

כעת, נשתמש בנוסחאות אינטגרציה ונקבל:

=-\frac{1}{2}\cdot\frac{{(x+3)}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} +5\cdot\frac{{(x+3)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c=

=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\cdot{(x+3)}^{\frac{5}{2}} +5\cdot\frac{2}{3}\cdot{(x+3)}^{\frac{3}{2}}+c=

=-\frac{1}{5}{(x+3)}^{\frac{5}{2}}+\frac{10}{3}{(x+3)}^{\frac{3}{2}}+c

נפתור את האינטגרל השני:

\frac{1}{2}\int (x-7)\sqrt{x+5} dx=

גם כאן נסדר את האיבר הראשון במכפלה שיהיה דומה לאיבר בשורש:

\frac{1}{2}\int (x+5-12)\sqrt{x+5} dx=

=\frac{1}{2}\int (x+5)\sqrt{x+5} dx+\frac{1}{2}\int (-12)\sqrt{x+5} dx=

=\frac{1}{2}\int (x+5)\sqrt{x+5} dx-6\int \sqrt{x+5} dx=

נסדר את האיברים, כדי שנוכל להשתמש בנוסחאות האינטגרציה בקלות:

=\frac{1}{2}\int {(x+5)}^{\frac{3}{2}} dx-6\int {(x+5)}^{\frac{1}{2}} dx=

כעת, נשתמש בנוסחאות אינטגרציה ונקבל:

=\frac{1}{2}[\frac{{(x+5)}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}]-6[\frac{{(x+5)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]+c=

=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}\cdot{(x+5)}^{\frac{5}{2}}-6\cdot\frac{2}{3}{(x+5)}^{\frac{3}{2}}+c=

=\frac{1}{5}{(x+5)}^{\frac{5}{2}}-4{(x+5)}^{\frac{3}{2}}+c

הערה: יכולנו לעשות זאת רק כי הפונקציה הפנימית היא פונקציה לינארית מהצורה ax+b (השתמשנו בכלל השלישי בכללי האינטגרציה). אחרת, לא היינו יכולים להשתמש בנוסחאות האינטגרציה המיידיות.

וסה”כ מקבלים:

=-\frac{1}{2}\int (x-7)\sqrt{x+3} dx+\frac{1}{2}\int (x-7)\sqrt{x+5} dx=

=-\frac{1}{5}{(x+3)}^{\frac{5}{2}}+\frac{10}{3}{(x+3)}^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{5}{(x+5)}^{\frac{5}{2}}-4{(x+5)}^{\frac{3}{2}}+c

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה