fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – פונקציה רציונלית עם גבול אינטגרציה אינסופי – תרגיל 6974

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{3}^{\infty} \frac{x}{{(x-2)}^2} dx

תשובה סופית


\int_{3}^{\infty} \frac{x}{{(x-2)}^2} dx=\infty

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:

\int_{3}^{\infty} \frac{x}{{(x-2)}^2} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{3}^{t} \frac{x}{{(x-2)}^2} dx=

נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{3}^{t} \frac{x-2+2}{{(x-2)}^2} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{3}^{t} \frac{x-2}{{(x-2)}^2} dx+\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{3}^{t} \frac{2}{{(x-2)}^2} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{3}^{t} \frac{1}{x-2} dx+\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{3}^{t} \frac{2}{{(x-2)}^2} dx=

האינטגרל הראשון הוא אינטגרל מיידי, כי הפונקציה הפנימית לינארית (מהצורה ax+b). לכן, נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונשתמש בכלל השלישי מכללי האינטגרציה:

\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{3}^{t} \frac{1}{x-2} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\ln|x-2|]_{3}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\ln|t-2|-\ln|3-2|]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\ln|t-2|-\ln 1]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\ln|t-2|-0]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \ln|t-2|=

נציב:

t=\infty

ונקבל:

=\ln|\infty-2|=

=\ln(\infty)=

=\infty

נפתור את האינטגרל השני:

\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{3}^{t} \frac{2}{{(x-2)}^2} dx=

נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל:

=\lim_{t \rightarrow \infty} 2\int_{3}^{t} {(x-2)}^{-2} dx=

שוב, זהו אינטגרל מיידי, כי הפונקציה הפנימית לינארית (מהצורה ax+b). לכן, נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונשתמש בכלל השלישי מכללי האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} 2\cdot[\frac{{(x-2)}^{-1}}{(-1)\cdot 1}]_{3}^{t}=

=\lim_{t \rightarrow \infty} 2\cdot[-\frac{1}{x-2}]_{3}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} 2\cdot[-\frac{1}{t-2}-(-\frac{1}{3-2})]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} 2\cdot[-\frac{1}{t-2}+\frac{1}{1}]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} 2\cdot[-\frac{1}{t-2}+1]=

נציב:

t=\infty

ונקבל:

=2\cdot[-\frac{1}{\infty-2}+1]=

=2\cdot[-\frac{1}{\infty}+1]=

=2\cdot[-0+1]=

=2

נחבר את התוצאות ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{3}^{t} \frac{1}{x-2} dx+\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{3}^{t} \frac{2}{{(x-2)}^2} dx=

=\infty+2=

=\infty

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה