fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – פונקציה רציונלית עם גבול אינטגרציה אינסופי – תרגיל 6972

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{-\infty}^{1} \frac{1}{{(x-2)}^2} dx

תשובה סופית


\int_{-\infty}^{1} \frac{1}{{(x-2)}^2} dx=1

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:

\int_{-\infty}^{1} \frac{1}{{(x-2)}^2} dx=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{1}\frac{1}{{(x-2)}^2}dx=

נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל:

=\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{1}{(x-2)}^{-2}dx=

זה אינטגרל מיידי, כי הפונקציה הפנימית לינארית (מהצורה ax+b). לכן, נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונשתמש בכלל השלישי מכללי האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [\frac{{(x-2)}^{-1}}{(-1)\cdot 1}]_{t}^{1}=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [-\frac{1}{x-2}]_{t}^{1}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [-\frac{1}{1-2}-(-\frac{1}{t-2})]=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [-\frac{1}{1-2}+\frac{1}{t-2}]=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [1+\frac{1}{t-2}]=

נציב:

t=-\infty

ונקבל:

=1+\frac{1}{-\infty-2}=

=1+\frac{1}{-\infty}=

=1+0

=1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה