תרגיל
חשבו את האינטגרל:
\int_{-\infty}^{1} \frac{1}{{(x-2)}^2} dx
תשובה סופית
פתרון מפורט
האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:
\int_{-\infty}^{1} \frac{1}{{(x-2)}^2} dx=
=\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{1}\frac{1}{{(x-2)}^2}dx=
נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל:
=\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{1}{(x-2)}^{-2}dx=
זה אינטגרל מיידי, כי הפונקציה הפנימית לינארית (מהצורה ax+b). לכן, נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונשתמש בכלל השלישי מכללי האינטגרציה:
=\lim_{t \rightarrow -\infty} [\frac{{(x-2)}^{-1}}{(-1)\cdot 1}]_{t}^{1}=
=\lim_{t \rightarrow -\infty} [-\frac{1}{x-2}]_{t}^{1}=
נציב את גבולות האינטגרציה:
=\lim_{t \rightarrow -\infty} [-\frac{1}{1-2}-(-\frac{1}{t-2})]=
=\lim_{t \rightarrow -\infty} [-\frac{1}{1-2}+\frac{1}{t-2}]=
=\lim_{t \rightarrow -\infty} [1+\frac{1}{t-2}]=
נציב:
t=-\infty
ונקבל:
=1+\frac{1}{-\infty-2}=
=1+\frac{1}{-\infty}=
=1+0
=1
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
