fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – מנה של פונקציות עם גבול אינטגרציה אינסופי – תרגיל 6983

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{1}^{\infty}\frac{x+1}{x^{\frac{5}{2}}}dx

תשובה סופית


\int_{1}^{\infty}\frac{x+1}{x^{\frac{5}{2}}}dx=\frac{8}{3}

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:

\int_{1}^{\infty}\frac{x+1}{x^{\frac{5}{2}}}dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{x+1}{x^{\frac{5}{2}}}dx=

נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל. בתרגיל זה, צריך לפשט את השבר:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} x^{-\frac{3}{2}}+x^{-\frac{5}{2}}dx=

הגענו לאינטגרל מיידי. לכן, נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}+\frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}]_{1}^{t}=

נסדר את הביטוי שקיבלנו:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-2\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^3}}]_{1}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-2\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{t^3}}-(-2\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{1^3}})]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-2\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{t^3}}+2+\frac{2}{3}]=

נציב:

t=\infty

ונקבל:

=-2\frac{1}{\sqrt{\infty}}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{\infty^3}}+2+\frac{2}{3}=

=-2\frac{1}{\infty}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\infty}+2+\frac{2}{3}=

=-2\cdot 0-\frac{2}{3}\cdot 0+2+\frac{2}{3}=

=2+\frac{2}{3}=

=\frac{8}{3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה