תרגיל
חשבו את האינטגרל:
\int_{1}^{\infty}\frac{x+1}{x^{\frac{5}{2}}}dx
תשובה סופית
פתרון מפורט
האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:
\int_{1}^{\infty}\frac{x+1}{x^{\frac{5}{2}}}dx=
=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{x+1}{x^{\frac{5}{2}}}dx=
נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל. בתרגיל זה, צריך לפשט את השבר:
=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} x^{-\frac{3}{2}}+x^{-\frac{5}{2}}dx=
הגענו לאינטגרל מיידי. לכן, נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונקבל:
=\lim_{t \rightarrow \infty} [\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}+\frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}]_{1}^{t}=
נסדר את הביטוי שקיבלנו:
=\lim_{t \rightarrow \infty} [-2\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^3}}]_{1}^{t}=
נציב את גבולות האינטגרציה:
=\lim_{t \rightarrow \infty} [-2\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{t^3}}-(-2\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{1^3}})]=
=\lim_{t \rightarrow \infty} [-2\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{t^3}}+2+\frac{2}{3}]=
נציב:
t=\infty
ונקבל:
=-2\frac{1}{\sqrt{\infty}}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{\infty^3}}+2+\frac{2}{3}=
=-2\frac{1}{\infty}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\infty}+2+\frac{2}{3}=
=-2\cdot 0-\frac{2}{3}\cdot 0+2+\frac{2}{3}=
=2+\frac{2}{3}=
=\frac{8}{3}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
