fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – מכפלה של פונקציות עם גבול אינטגרציה אינסופי – תרגיל 6979

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{1}^{\infty} [(1+\frac{1}{x^3})(2-\frac{4}{x^2})-2]dx

תשובה סופית


\int_{1}^{\infty} [(1+\frac{1}{x^3})(2-\frac{4}{x^2})-2]dx=-4

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:

\int_{1}^{\infty} [(1+\frac{1}{x^3})(2-\frac{4}{x^2})-2]dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} [(1+\frac{1}{x^3})(2-\frac{4}{x^2})-2]dx=

נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל. בתרגיל זה, צריך פשוט לפתוח סוגריים:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} [2-4x^{-2}+2x^{-3}-4x^{-5}-2]dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} [-4x^{-2}+2x^{-3}-4x^{-5}]dx=

הגענו לאינטגרל מיידי. לכן, נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-4\cdot\frac{x^{-1}}{-1}+2\cdot\frac{x^{-2}}{-2}-4\cdot\frac{x^{-4}}{-4}]_{1}^{t}=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [4\cdot\frac{1}{x}-1\cdot\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}]_{1}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [4\cdot\frac{1}{t}-1\cdot\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^4}-(4\cdot\frac{1}{1}-1\cdot\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^4})]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [4\cdot\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^4}-4+1-1]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [4\cdot\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^4}-4]=

נציב:

t=\infty

ונקבל:

=4\cdot\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty^2}+\frac{1}{\infty^4}-4=

=4\cdot 0-0+0-4=

=-4

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה