תרגיל
חשבו את האינטגרל:
\int_{1}^{\infty} [(1+\frac{1}{x^3})(2-\frac{4}{x^2})-2]dx
תשובה סופית
פתרון מפורט
האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:
\int_{1}^{\infty} [(1+\frac{1}{x^3})(2-\frac{4}{x^2})-2]dx=
=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} [(1+\frac{1}{x^3})(2-\frac{4}{x^2})-2]dx=
נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל. בתרגיל זה, צריך פשוט לפתוח סוגריים:
=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} [2-4x^{-2}+2x^{-3}-4x^{-5}-2]dx=
=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} [-4x^{-2}+2x^{-3}-4x^{-5}]dx=
הגענו לאינטגרל מיידי. לכן, נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונקבל:
=\lim_{t \rightarrow \infty} [-4\cdot\frac{x^{-1}}{-1}+2\cdot\frac{x^{-2}}{-2}-4\cdot\frac{x^{-4}}{-4}]_{1}^{t}=
=\lim_{t \rightarrow \infty} [4\cdot\frac{1}{x}-1\cdot\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}]_{1}^{t}=
נציב את גבולות האינטגרציה:
=\lim_{t \rightarrow \infty} [4\cdot\frac{1}{t}-1\cdot\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^4}-(4\cdot\frac{1}{1}-1\cdot\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^4})]=
=\lim_{t \rightarrow \infty} [4\cdot\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^4}-4+1-1]=
=\lim_{t \rightarrow \infty} [4\cdot\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^4}-4]=
נציב:
t=\infty
ונקבל:
=4\cdot\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty^2}+\frac{1}{\infty^4}-4=
=4\cdot 0-0+0-4=
=-4
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
