fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – פונקציה רציונלית עם גבול אינטגרציה אינסופי – תרגיל 6952

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{(1+x)}^3} dx

תשובה סופית


\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{(1+x)}^3} dx=\frac{1}{2}

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{(1+x)}^3} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(1+x)}^3} dx=

נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} {(1+x)}^{-3} dx=

זה אינטגרל מיידי, כי הפונקציה הפנימית לינארית (מהצורה ax+b). לכן, נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונשתמש בכלל השלישי מכללי האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\frac{{(1+x)}^{-2}}{(-2)\cdot 1}]_{0}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} (\frac{{(1+t)}^{-2}}{-2}-\frac{{(1+0)}^{-2}}{-2})=

=\lim_{t \rightarrow \infty} (-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{{(1+t)}^{2}}-\frac{1}{-2})=

=\lim_{t \rightarrow \infty} (-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{{(1+t)}^{2}}+\frac{1}{2})=

נציב:

t=\infty

ונקבל:

=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{{(1+\infty)}^2}+\frac{1}{2}=

=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\infty^2}+\frac{1}{2}=

=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\infty}+\frac{1}{2}=

=-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}=

=\frac{1}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה