תרגיל
חשבו את האינטגרל:
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{(1+x)}^3} dx
תשובה סופית
פתרון מפורט
האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{(1+x)}^3} dx=
=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(1+x)}^3} dx=
נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל:
=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} {(1+x)}^{-3} dx=
זה אינטגרל מיידי, כי הפונקציה הפנימית לינארית (מהצורה ax+b). לכן, נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונשתמש בכלל השלישי מכללי האינטגרציה:
=\lim_{t \rightarrow \infty} [\frac{{(1+x)}^{-2}}{(-2)\cdot 1}]_{0}^{t}=
נציב את גבולות האינטגרציה:
=\lim_{t \rightarrow \infty} (\frac{{(1+t)}^{-2}}{-2}-\frac{{(1+0)}^{-2}}{-2})=
=\lim_{t \rightarrow \infty} (-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{{(1+t)}^{2}}-\frac{1}{-2})=
=\lim_{t \rightarrow \infty} (-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{{(1+t)}^{2}}+\frac{1}{2})=
נציב:
t=\infty
ונקבל:
=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{{(1+\infty)}^2}+\frac{1}{2}=
=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\infty^2}+\frac{1}{2}=
=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\infty}+\frac{1}{2}=
=-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}=
=\frac{1}{2}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
