fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – הפרש פונקציות בריבוע עם גבול אינטגרציה אינסופי – תרגיל 6985

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{1}^{\infty} {(1-\frac{1}{x})}^2 dx

תשובה סופית


\int_{1}^{\infty} {(1-\frac{1}{x})}^2 dx=\infty

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:

\int_{1}^{\infty} {(1-\frac{1}{x})}^2 dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} {(1-\frac{1}{x})}^2 dx=

נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל. בתרגיל זה, צריך פשוט לפתוח סוגריים:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} (1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}) dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} (1-\frac{2}{x}+x^{-2}) dx=

הגענו לאינטגרל מיידי. לכן, נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [x-2\ln|x|-\frac{1}{x}]_{1}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [t-2\ln|t|-\frac{1}{t}-(1-2\ln 1-\frac{1}{1})]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [t-2\ln|t|-\frac{1}{t}-(1-2\cdot 0-1)]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [t-2\ln|t|-\frac{1}{t}-0]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [t-2\ln|t|-\frac{1}{t}]=

נציב:

t=\infty

ונקבל:

=\infty-2\ln \infty-\frac{1}{\infty}

קיבלנו “שואף לאינסוף פחות שואף לאינסוף”, לכן נשתמש בחוקי לוגריתמים, כדי לסדר את הביטוי:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\ln e^t-\ln t^2-\frac{1}{t}]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\ln \frac{e^t}{t^2}-\frac{1}{t}]=

נפצל את הגבול ונכניס אותו לפונקציית ה-ln:

=\ln \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^t}{t^2}-\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t}=

הערה: יכולנו לעשות זאת, כי פונקציית ln היא פונקציה רציפה.

הגבול השני שווה לאפס:

\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t}=0

לכן נמשיך לחשב רק את הגבול הראשון:

=\ln \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^t}{t^2}=

נשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד – ונקבל:

=\ln \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^t}{2t}=

הצבה נותנת “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”, וזה מקרה אי-ודאות. לכן, נשתמש שוב בכלל לופיטל ונקבל:

=\ln \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^t}{2}=

שוב נציב אינסוף ונקבל:

=\ln\frac{e^\infty}{2}=

=\ln\frac{\infty}{2}=

=\ln\infty=

=\infty

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה