fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – פונקציה מעריכית עם ערך מוחלט ועם גבולות אינטגרציה אינסופיים – תרגיל 6966

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|2x-4|} dx

תשובה סופית


\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|2x-4|} dx=1

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו שני גבולות אינטגרציה אינסופיים. לכן, נפצל את האינטגרל לשני אינטגרלים בנקודה כלשהי בתחום ההגדרה של הפונקציה. מכיוון שיש בפונקציה ערך מוחלט, נבחר את הנקודה שמאפסת את הערך המוחלט, כדי שיהיה לנו קל להיפטר ממנו בחישוב האינטגרל. לכן, נבדוק מתי הביטוי בערך המוחלט שווה לאפס:

2x-4=0

2x=4

x=2

לכן, נפצל את האינטגרל בנקודה x=2 ונקבל:

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|2x-4|} dx=

=\int_{-\infty}^{2} e^{-|2x-4|} dx + \int_{2}^{\infty} e^{-|2x-4|} dx=

נשתמש בהגדרת ערך מוחלט, כדי להיפטר מהערך המוחלט:

=\int_{-\infty}^{2} e^{2x-4} dx + \int_{2}^{\infty} e^{-(2x-4)} dx=

כעת, נעביר כל גבול אינטגרציה אינסופי לחישוב גבול ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{2}e^{2x-4} dx+\lim_{s \rightarrow \infty}\int_{2}^{s} e^{-(2x-4)} dx=

נפתור את הגבול (ואת האינטגרל) הראשון:

\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{2}e^{2x-4} dx=

מכיוון שהפונקציה הפנימית לינארית (מהצורה ax+b), נוכל לפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ובעזרת הכלל השלישי בכללי האינטגרציה. נקבל:

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [\frac{e^{2x-4}}{2}]_{t}^{2}=

נסדר ונקבל:

=\frac{1}{2}\lim_{t \rightarrow -\infty} [e^{2x-4}]_{t}^{2}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{1}{2}\lim_{t \rightarrow -\infty} (e^{2\cdot 2-4}-e^{2\cdot t-4})=

=\frac{1}{2}\lim_{t \rightarrow -\infty} (e^{0}-e^{2\cdot t-4})=

=\frac{1}{2}\lim_{t \rightarrow -\infty} (1-e^{2\cdot t-4})=

נציב:

t=-\infty

ונקבל:

=\frac{1}{2}\cdot(1-e^{2\cdot (-\infty)-4})=

=\frac{1}{2}\cdot(1-e^{-\infty})=

=\frac{1}{2}\cdot(1-0)=

=\frac{1}{2}

נפתור את הגבול (ואת האינטגרל) השני:

\lim_{s \rightarrow \infty}\int_{2}^{s} e^{-(2x-4)} dx=

=\lim_{s \rightarrow \infty}\int_{2}^{s} e^{-2x+4} dx=

שוב, מכיוון שהפונקציה הפנימית לינארית (מהצורה ax+b), נוכל לפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ובעזרת הכלל השלישי בכללי האינטגרציה. נקבל:

=\lim_{s \rightarrow \infty} [\frac{e^{-2x+4}}{-2}]_{2}^{s}=

=-\frac{1}{2}\lim_{s \rightarrow \infty} [e^{-2x+4}]_{2}^{s}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

-\frac{1}{2}\lim_{s \rightarrow \infty} [e^{-2\cdot s+4}-e^{-2\cdot 2+4}]=

-\frac{1}{2}\lim_{s \rightarrow \infty} [e^{-2\cdot s+4}-e^{0}]=

-\frac{1}{2}\lim_{s \rightarrow \infty} [e^{-2\cdot s+4}-1]=

נציב:

s=\infty

ונקבל:

-\frac{1}{2}(e^{-2\cdot \infty+4}-1)=

-\frac{1}{2}(e^{-\infty+4}-1)=

-\frac{1}{2}(e^{-\infty}-1)=

-\frac{1}{2}(0-1)=

=\frac{1}{2}

נחבר את שתי התוצאות ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{2}e^{2x-4} dx+\lim_{s \rightarrow \infty}\int_{2}^{s} e^{-(2x-4)} dx=

=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=

=1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה