אינטגרל לא אמיתי – מכפלה של פונקציות עם שורש עם גבול אינטגרציה אינסופי – תרגיל 6991

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

$\int_{1}^{\infty} (\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4})\sqrt{x\sqrt{x}} dx$

תשובה סופית

הצגת תשובה סופית

פתרון מפורט

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:

$\int_{1}^{\infty} (\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4})\sqrt{x\sqrt{x}} dx=$

$=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} (\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4})\sqrt{x\sqrt{x}} dx=$

נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל. בתרגיל זה, צריך פשוט לפתוח סוגריים:

$=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} (x^{-3}-x^{-4}){(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}} dx=$

$=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} (x^{-3}-x^{-4})x^{\frac{3}{4}} dx=$

$=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} x^{-\frac{9}{4}}-x^{-\frac{13}{4}} dx=$

הגענו לאינטגרל מיידי. לכן, נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונקבל:

$=\lim_{t \rightarrow \infty} [\frac{x^{-\frac{5}{4}}}{-\frac{5}{4}}-\frac{x^{-\frac{9}{4}}}{-\frac{9}{4}}]_{1}^{t}=$

$=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{4}{5}x^{-\frac{5}{4}}+\frac{4}{9}x^{-\frac{9}{4}}]_{1}^{t}=$

נציב את גבולות האינטגרציה:

$=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{4}{5}\cdot t^{-\frac{5}{4}}+\frac{4}{9}\cdot t^{-\frac{9}{4}}-(-\frac{4}{5}\cdot 1^{-\frac{5}{4}}+\frac{4}{9}\cdot 1^{-\frac{9}{4}})]=$

$=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{4}{5}\cdot t^{-\frac{5}{4}}+\frac{4}{9}\cdot t^{-\frac{9}{4}}+\frac{4}{5}-\frac{4}{9}]=$

נציב:

$t=\infty$

ונקבל:

$=-\frac{4}{5}\cdot \infty^{-\frac{5}{4}}+\frac{4}{9}\cdot \infty^{-\frac{9}{4}}+\frac{4}{5}-\frac{4}{9}=$

$=-\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{\infty^{\frac{5}{4}}}+\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{\infty^{\frac{9}{4}}}+\frac{4}{5}-\frac{4}{9}=$

$=-\frac{4}{5}\cdot 0+\frac{4}{9}\cdot 0+\frac{4}{5}-\frac{4}{9}=$

$=\frac{4}{5}-\frac{4}{9}=$

$=\frac{16}{45}$

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות