fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – מכפלה של פונקציות עם שורש עם גבול אינטגרציה אינסופי – תרגיל 6991

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{1}^{\infty} (\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4})\sqrt{x\sqrt{x}} dx

תשובה סופית


\int_{1}^{\infty} (\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4})\sqrt{x\sqrt{x}} dx=\frac{16}{45}

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:

\int_{1}^{\infty} (\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4})\sqrt{x\sqrt{x}} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} (\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4})\sqrt{x\sqrt{x}} dx=

נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל. בתרגיל זה, צריך פשוט לפתוח סוגריים:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} (x^{-3}-x^{-4}){(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} (x^{-3}-x^{-4})x^{\frac{3}{4}} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} x^{-\frac{9}{4}}-x^{-\frac{13}{4}} dx=

הגענו לאינטגרל מיידי. לכן, נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\frac{x^{-\frac{5}{4}}}{-\frac{5}{4}}-\frac{x^{-\frac{9}{4}}}{-\frac{9}{4}}]_{1}^{t}=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{4}{5}x^{-\frac{5}{4}}+\frac{4}{9}x^{-\frac{9}{4}}]_{1}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{4}{5}\cdot t^{-\frac{5}{4}}+\frac{4}{9}\cdot t^{-\frac{9}{4}}-(-\frac{4}{5}\cdot 1^{-\frac{5}{4}}+\frac{4}{9}\cdot 1^{-\frac{9}{4}})]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{4}{5}\cdot t^{-\frac{5}{4}}+\frac{4}{9}\cdot t^{-\frac{9}{4}}+\frac{4}{5}-\frac{4}{9}]=

נציב:

t=\infty

ונקבל:

=-\frac{4}{5}\cdot \infty^{-\frac{5}{4}}+\frac{4}{9}\cdot \infty^{-\frac{9}{4}}+\frac{4}{5}-\frac{4}{9}=

=-\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{\infty^{\frac{5}{4}}}+\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{\infty^{\frac{9}{4}}}+\frac{4}{5}-\frac{4}{9}=

=-\frac{4}{5}\cdot 0+\frac{4}{9}\cdot 0+\frac{4}{5}-\frac{4}{9}=

=\frac{4}{5}-\frac{4}{9}=

=\frac{16}{45}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה