תרגיל
חשבו את האינטגרל:
\int_{0}^{\infty}[{(\frac{1}{2})}^x+{(\frac{1}{3})}^x]dx
תשובה סופית
פתרון מפורט
האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:
\int_{0}^{\infty}[{(\frac{1}{2})}^x+{(\frac{1}{3})}^x]dx=
=\lim_{t \rightarrow \infty} [{(\frac{1}{2})}^x+{(\frac{1}{3})}^x]dx=
זהו אינטגרל מיידי. נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונקבל:
=\lim_{t \rightarrow \infty} [\frac{{(\frac{1}{2})}^x}{\ln \frac{1}{2}}+\frac{{(\frac{1}{3})}^x}{\ln \frac{1}{3}}]_{0}^{t}=
נסדר את הביטוי שקיבלנו בעזרת חוקי לוגריתמים:
=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{1}{2^x\ln 2}-\frac{1}{3^x\ln 3}]_{0}^{t}=
נציב את גבולות האינטגרציה:
=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{1}{2^t\ln 2}-\frac{1}{3^t\ln 3}-(-\frac{1}{2^0\ln 2}-\frac{1}{3^0\ln 3})]=
=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{1}{2^t\ln 2}-\frac{1}{3^t\ln 3}+\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}]=
נציב:
t=\infty
ונקבל:
=-\frac{1}{2^\infty \ln 2}-\frac{1}{3^\infty \ln 3}+\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}=
=-\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}=
=-0-0+\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}=
=\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
