fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – סכום פונקציות מעריכיות עם גבול אינטגרציה אינסופי – תרגיל 6989

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{0}^{\infty}[{(\frac{1}{2})}^x+{(\frac{1}{3})}^x]dx

תשובה סופית


\int_{0}^{\infty}[{(\frac{1}{2})}^x+{(\frac{1}{3})}^x]dx=\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:

\int_{0}^{\infty}[{(\frac{1}{2})}^x+{(\frac{1}{3})}^x]dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [{(\frac{1}{2})}^x+{(\frac{1}{3})}^x]dx=

זהו אינטגרל מיידי. נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\frac{{(\frac{1}{2})}^x}{\ln \frac{1}{2}}+\frac{{(\frac{1}{3})}^x}{\ln \frac{1}{3}}]_{0}^{t}=

נסדר את הביטוי שקיבלנו בעזרת חוקי לוגריתמים:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{1}{2^x\ln 2}-\frac{1}{3^x\ln 3}]_{0}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{1}{2^t\ln 2}-\frac{1}{3^t\ln 3}-(-\frac{1}{2^0\ln 2}-\frac{1}{3^0\ln 3})]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{1}{2^t\ln 2}-\frac{1}{3^t\ln 3}+\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}]=

נציב:

t=\infty

ונקבל:

=-\frac{1}{2^\infty \ln 2}-\frac{1}{3^\infty \ln 3}+\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}=

=-\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}=

=-0-0+\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}=

=\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה