fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – פונקציה רציונלית עם גבול אינטגרציה אינסופי – תרגיל 6954

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{4}^{\infty} \frac{1}{4-x^2} dx

תשובה סופית


\int_{4}^{\infty} \frac{1}{4-x^2} dx=-\frac{1}{4}\cdot\ln 3

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:

\int_{4}^{\infty} \frac{1}{4-x^2} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{4}^{t} \frac{1}{4-x^2} dx=

נפרק את המכנה בעזרת נוסחת כפל מקוצר ממעלה שנייה (נוסחה שלישית) ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{4}^{t} \frac{1}{(2-x)(2+x)} dx=

יש לנו פונקציה רציונלית (=מנה של פולינומים). לכן, נשתמש בשיטת פירוק לשברים חלקיים ונקבל את הפירוק:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{4}^{t} \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2-x}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2+x} dx=

מכיוון שהפונקציה הפנימית לינארית (מהצורה ax+b), הגענו לאינטגרל מיידי. נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ובעזרת הכלל השלישי בכללי האינטגרציה ונקבל: 

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\frac{1}{4}\cdot\frac{\ln|2-x|}{-1}+\frac{1}{4}\cdot\frac{\ln|2+x|}{1}]_{4}^{t}=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{1}{4}\cdot\ln|2-x|+\frac{1}{4}\cdot\ln|2+x|]_{4}^{t}=

נסדר את הביטוי שקיבלנו בעזרת חוקי לוגריתמים:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\frac{1}{4}\cdot\ln|\frac{2+x}{2-x}|]_{4}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{4}\cdot\ln|\frac{2+t}{2-t}|-\frac{1}{4}\cdot\ln|\frac{2+4}{2-4}|=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{4}\cdot\ln|\frac{2+t}{2-t}|-\frac{1}{4}\cdot\ln|\frac{6}{-2}|=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{4}\cdot\ln|\frac{2+t}{2-t}|-\frac{1}{4}\cdot\ln|-3|=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{4}\cdot\ln|\frac{2+t}{2-t}|-\frac{1}{4}\cdot\ln 3=

נציב בגבול:

t=\infty

ונקבל:

=\frac{1}{4}\cdot\ln|\frac{2+\infty}{2-\infty}|-\frac{1}{4}\cdot\ln 3=

קיבלנו ביטוי עם “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”, לכן נחשב את הגבול על ביטוי זה בנפרד:

=\frac{1}{4}\lim_{t \rightarrow \infty}\ln|\frac{2+t}{2-t}|-\frac{1}{4}\cdot\ln 3=

=\frac{1}{4}\ln\lim_{t \rightarrow \infty}|\frac{2+t}{2-t}|-\frac{1}{4}\cdot\ln 3=

הערה: יכולנו להכניס את האינטגרל, כי פונקציית ln היא פונקציה רציפה.

נשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=\frac{1}{4}\cdot\ln\lim_{t \rightarrow \infty}|\frac{1}{-1}|-\frac{1}{4}\ln 3=

=\frac{1}{4}\cdot\ln\lim_{t \rightarrow \infty}|-1|-\frac{1}{4}\cdot\ln 3=

=\frac{1}{4}\cdot\ln\lim_{t \rightarrow \infty} 1-\frac{1}{4}\cdot\ln 3=

נחשב שוב את הגבול ונקבל:

=\frac{1}{4}\cdot\ln 1-\frac{1}{4}\cdot\ln 3=

=\frac{1}{4}\cdot 0-\frac{1}{4}\cdot \ln 3=

=-\frac{1}{4}\cdot\ln 3

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה