fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – פונקציה מעריכית עם גבולות אינטגרציה אינסופיים – תרגיל 6961

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-3x+1} dx

תשובה סופית


\int_{-\infty}^{\infty} e^{-3x+1} dx=\infty

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו שני גבולות אינטגרציה אינסופיים. לכן, נפצל את האינטגרל לשני אינטגרלים בנקודה כלשהי בתחום ההגדרה של הפונקציה, למשל בנקודה אפס. נקבל:

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-3x+1} dx=

=\int_{-\infty}^{0} e^{-3x+1} dx + \int_{0}^{\infty} e^{-3x+1} dx=

כעת, נעביר כל גבול אינטגרציה אינסופי לחישוב גבול ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{0} e^{-3x+1} dx+\lim_{s \rightarrow \infty}\int_{0}^{s} e^{-3x+1} dx=

הפונקציה בתוך האינטגרלים זהה. לכן, ראשית נפתור את האינטגרל הלא-מסוים של הפונקציה:

\int e^{-3x+1} dx=

מכיוון שהפונקציה הפנימית לינארית (מהצורה ax+b), נוכל לפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ובעזרת הכלל השלישי בכללי האינטגרציה. נקבל:

=\frac{e^{-3x+1}}{-3}+c=

נסדר ונקבל:

=-\frac{1}{3}e^{-3x+1}+c

נציב את התוצאה באינטגרל הראשון שצריך לפתור:

\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{0} e^{-3x+1} dx=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [-\frac{1}{3}e^{-3x+1}]_{t}^{0}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [-\frac{1}{3}e^{-3\cdot 0+1}-(-\frac{1}{3}e^{-3\cdot t+1})]=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [-\frac{1}{3}e^{1}+\frac{1}{3}e^{-3\cdot t+1}]=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [-\frac{1}{3}e+\frac{1}{3}e^{-3\cdot t+1}]=

נציב:

t=-\infty

ונקבל:

=-\frac{1}{3}e+\frac{1}{3}e^{-3\cdot (-\infty)+1}=

=-\frac{1}{3}e+\frac{1}{3}e^{\infty}=

=-\frac{1}{3}e+\frac{1}{3}\infty=

=-\frac{1}{3}e+\infty

נציב את התוצאה באינטגרל השני שצריך לפתור:

\lim_{s \rightarrow \infty}\int_{0}^{s} e^{-3x+1} dx=

=\lim_{s \rightarrow \infty} [-\frac{1}{3}e^{-3x+1}]_{0}^{s}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

\lim_{s \rightarrow \infty} [-\frac{1}{3}e^{-3\cdot s+1}-(-\frac{1}{3}e^{-3\cdot 0+1})]=

\lim_{s \rightarrow \infty} [-\frac{1}{3}e^{-3\cdot s+1}+\frac{1}{3}e^{1}]=

\lim_{s \rightarrow \infty} [-\frac{1}{3}e^{-3\cdot s+1}+\frac{1}{3}e]=

נציב:

s=\infty

ונקבל:

=-\frac{1}{3}e^{-3\cdot \infty+1}+\frac{1}{3}e=

=-\frac{1}{3}e^{-\infty+1}+\frac{1}{3}e=

=-\frac{1}{3}e^{-\infty}+\frac{1}{3}e=

=-\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}e=

=\frac{1}{3}e

נחבר את שתי התוצאות ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{0} e^{-3x+1} dx+\lim_{s \rightarrow \infty}\int_{0}^{s} e^{-3x+1} dx=

=-\frac{1}{3}e+\infty+\frac{1}{3}e=

=\infty

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה