fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – פונקציה רציונלית עם גבול אינטגרציה אינסופי – תרגיל 6943

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} dx

תשובה סופית


\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} dx=\frac{1}{3}

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^4}dx=

נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} x^{-4} dx=

זה אינטגרל מיידי. נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\frac{x^{-3}}{-3}]_{1}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} (\frac{t^{-3}}{-3}-\frac{1^{-3}}{-3})=

=\lim_{t \rightarrow \infty} (-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{t^3}-\frac{1}{-3})=

=\lim_{t \rightarrow \infty} (-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{t^3}+\frac{1}{3})=

נציב:

t=\infty

ונקבל:

=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\infty^3}+\frac{1}{3}=

=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\infty}+\frac{1}{3}=

=-\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}=

=\frac{1}{3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה