תרגיל
חשבו את האינטגרל:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} dx
תשובה סופית
פתרון מפורט
האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} dx=
=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^4}dx=
נסדר את הפונקציה, כדי שיהיה לנו קל לחשב את האינטגרל:
=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} x^{-4} dx=
זה אינטגרל מיידי. נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה:
=\lim_{t \rightarrow \infty} [\frac{x^{-3}}{-3}]_{1}^{t}=
נציב את גבולות האינטגרציה:
=\lim_{t \rightarrow \infty} (\frac{t^{-3}}{-3}-\frac{1^{-3}}{-3})=
=\lim_{t \rightarrow \infty} (-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{t^3}-\frac{1}{-3})=
=\lim_{t \rightarrow \infty} (-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{t^3}+\frac{1}{3})=
נציב:
t=\infty
ונקבל:
=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\infty^3}+\frac{1}{3}=
=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\infty}+\frac{1}{3}=
=-\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}=
=\frac{1}{3}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
