תרגיל
נתון שהפונקציה:
f(x,y)
הומוגנית מדרגה 2 ושהפונקציות:
x(u,v),y(u,v)
הומוגניות מדרגה 3. האם הפונקציה:
F(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))
הומוגנית? אם כן, מאיזו דרגה?
פתרון מפורט
נתון שהפונקציה:
f(x,y)
הומוגנית מדרגה 2.
לפי הגדרה, פונקציה הומוגנית מדרגה r כאשר מתקיים:
f(tx,ty)=t^rf(x,y)
עבור קבוע t.
מכאן, מתקיים:
f(tx,ty)=t^2f(x,y)
באופן דומה, מקבלים שמתקיים:
x(tu,tv)=t^3x(u,v)
y(tu,tv)=t^3y(u,v)
נבדוק לפי הגדרת הומוגניות את הפונקציה F:
F(tu,tv)=
נציב את הפונקציה ונקבל:
=f(x(tu,tv),y(tu,tv))=
הפונקציות x,y הומוגניות מדרגה 3, לכן מתקיים:
=f(t^3x(u,v),t^3y(u,v))=
נציב:
k=t^3
ונקבל:
=f(kx(u,v),ky(u,v))=
הפונקציה f הומוגנית מדרגה 2, לכן מתקיים:
=k^2f(x(u,v),y(u,v))=
נחזור למשתנה t ונקבל:
={(t^3)}^2f(x(u,v),y(u,v))=
=t^6f(x(u,v),y(u,v))=
לסיכום, קיבלנו שמתקיים:
F(tu,tv)=t^6f(x(u,v),y(u,v))
מכאן, הפונקציה הומוגנית מדרגה 6.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
