איך ללמוד ולהצליח בקורס חדו"א?

פונקציה הומוגנית – בדיקת הומוגניות להרכבת פונקציות הומוגניות – תרגיל 7067

תרגיל 

נתון שהפונקציה:

f(x,y)

הומוגנית מדרגה 2 ושהפונקציות:

x(u,v),y(u,v)

הומוגניות מדרגה 3. האם הפונקציה:

F(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))

הומוגנית? אם כן, מאיזו דרגה?

הפונקציה הומוגנית מדרגה 6

פתרון מפורט

נתון שהפונקציה:

f(x,y)

הומוגנית מדרגה 2.

לפי הגדרה, פונקציה הומוגנית מדרגה r כאשר מתקיים:

f(tx,ty)=t^rf(x,y)

עבור קבוע t.

מכאן, מתקיים:

f(tx,ty)=t^2f(x,y)

באופן דומה, מקבלים שמתקיים:

x(tu,tv)=t^3x(u,v)

y(tu,tv)=t^3y(u,v)

נבדוק לפי הגדרת הומוגניות את הפונקציה F:

F(tu,tv)=

נציב את הפונקציה ונקבל:

=f(x(tu,tv),y(tu,tv))=

הפונקציות x,y הומוגניות מדרגה 3, לכן מתקיים:

=f(t^3x(u,v),t^3y(u,v))=

נציב:

k=t^3

ונקבל:

=f(kx(u,v),ky(u,v))=

הפונקציה f הומוגנית מדרגה 2, לכן מתקיים:

=k^2f(x(u,v),y(u,v))=

נחזור למשתנה t ונקבל:

={(t^3)}^2f(x(u,v),y(u,v))=

=t^6f(x(u,v),y(u,v))=

לסיכום, קיבלנו שמתקיים:

F(tu,tv)=t^6f(x(u,v),y(u,v))

מכאן, הפונקציה הומוגנית מדרגה 6.

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה