fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת לפי הגדרה – פונקציית שורש – תרגיל 1010

תרגיל 

מצאו לפי הגדרה את הנגזרת של הפונקציה:

f(x)=\sqrt{x}

תשובה סופית


f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

פתרון

נמצא את הנגזרת של הפונקציה בנקודה מסוימת, שנקרא לה:

x_0

נבנה את הגבול לחישוב הנגזרת לפי הגדרה:

f'(x_0)=\lim _ { x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=

נציב את הפונקציה:

=\lim _ { x \rightarrow x_0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}=

שימו לב שהצבה כעת תיתן את מקרה אי-הוודאות ‘שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס’. לכן, צריך לפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.

נשתמש בשיטת כפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של המונה. וכך נקבל:

=\lim _ { x \rightarrow x_0} \frac{x-x_0}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}=

נצמצם ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow x_0} \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}

נציב את הנקודה:

x=x_0

ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow x_0} \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}=

=\frac{1}{\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0}}=

=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}=

מכאן, ניתן להסיק שהנגזרת הכללית של הפונקציה היא

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה