fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת לפי הגדרה – פונקציית sin – תרגיל 1244

תרגיל 

מצאו לפי הגדרה את הנגזרת של הפונקציה:

f(x)=\sin x

תשובה סופית


f'(x)=\cos x

פתרון

נמצא את הנגזרת של הפונקציה בנקודה מסוימת, שנקרא לה:

x_0

נבנה את הגבול לחישוב הנגזרת לפי הגדרה:

f'(x_0)=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=

נציב את הפונקציה:

=\lim _ {h \rightarrow 0} \frac{\sin(x_0+h)-\sin(x_0)}{h}

נשתמש בזהות טריגונומטרית ונקבל:

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{\sin x_0\cos h+\cos x_0 \sin h -\sin x_0}{h}=

לפי כללי גבולות, נפצל לסכום של שני גבולות ונקבל:

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{\sin x_0\cos h -\sin x_0}{h}+

+\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{\cos x_0 \sin h}{h}=

נחשב את הגבול הראשון:

\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{\sin x_0\cos h -\sin x_0}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{\sin x_0(\cos h -1)}{h}=

הגבול הוא לפי משתנה h, לכן נוציא את הביטוי ללא h מחוץ לגבול (כי הוא נחשב לקבוע, כמו פרמטר) ונקבל:

=\sin x_0 \lim _ { h \rightarrow 0} \frac{\cos h -1}{h}=

הצבת h=0 תיתן את מקרה אי-הוודאות ‘שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס’, לכן נשתמש בשיטת כפל בצמוד ונכפול מונה ומכנה בצמוד של המונה, כדי לצאת ממצב זה:

=\sin x_0 \lim _ { h \rightarrow 0} \frac{\cos h -1}{h}\cdot \frac{\cos h +1}{\cos h +1}=

=\sin x_0 \lim _ { h \rightarrow 0} \frac{\cos^2 h -1}{h(\cos h +1)}=

נשתמש שוב בזהות טריגונומטרית במונה ונקבל:

=\sin x_0 \lim _ { h \rightarrow 0} \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h +1)}=

=\sin x_0 \lim _ { h \rightarrow 0} -\sin h\cdot \frac{\sin h}{h}\cdot\frac{1}{\cos h +1}=

נציב h=0 ונקבל:

=\sin x_0 \cdot 0\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=0

כעת, נחשב את הגבול השני (בסכום הגבולות לעיל):

\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{\cos x_0 \sin h}{h}=

שוב נוציא את הביטוי ללא h מחוץ לגבול ונקבל:

=\cos x_0 \lim _ { h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}=

נציב ונשתמש בגבול הידוע בהצבה ונקבל:

=\cos x_0 \cdot 1=\cos x_0

לכן, תוצאת הגבול היא

\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{\sin x_0\cos h -\sin x_0}{h}+

+\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{\cos x_0 \sin h}{h}=

0+\cos x_0=\cos x_0

מכאן, הנגזרת של הפונקציה היא

f'(x)=\cos x

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה