fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת לפי הגדרה – פולינום – תרגיל 998

תרגיל 

מצאו לפי הגדרה את הנגזרת של הפונקציה:

f(x)=x^3

תשובה סופית


f'(x)=3x^2

פתרון

נמצא את הנגזרת של הפונקציה בנקודה מסוימת, שנקרא לה:

x_0

נבנה את הגבול לחישוב הנגזרת לפי הגדרה:

f'(x_0)=\lim _ { x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=

נציב את הפונקציה:

=\lim _ { x \rightarrow x_0} \frac{x^3-{(x_0)}^3}{x-x_0}=

שימו לב שהצבה כעת תיתן את מקרה אי-הוודאות ‘שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס’. לכן, צריך לפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.

נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר למעלה שלישית ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow x_0} \frac{(x-x_0)\cdot (x^2+xx_0+{x_0}^2)}{x-x_0}=

נצמצם ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow x_0} x^2+xx_0+{x_0}^2

נציב את הנקודה:

x=x_0

ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow x_0} x^2+xx_0+{x_0}^2=

{x_0}^2+x_0 x_0+{x_0}^2=3{x_0}^2

מכאן, הנגזרת הכללית של הפונקציה היא

f'(x)=3x^2

דרך הוכחה נוספת בעזרת הגדרת נגזרת שקולה:

\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=

נציב את הפונקציה ונקבל:

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{{(x_0+h)}^3-{x_0}^3}{h}=

הצבת h=0 תיתן את מקרה אי-הוודאות ‘שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.

נשתמש בנוסחה מנוסחאות הכפל המקוצר:

{(a\pm b)}^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3

נפתח סוגריים לפי הנוסחה ונקבל:

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{{x_0}^3+3{x_0}^2 h+3x_0 h^2+h^3-{x_0}^3}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{3{x_0}^2 h+3x_0 h^2+h^3}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{h(3{x_0}^2+3x_0 h+h^2)}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0} 3{x_0}^2+3x_0 h+h^2=

נציב ונקבל:

=3{x_0}^2+3x_0 \cdot 0+0^2=3{x_0}^2

ושוב מקבלים, לפי הגדרה, שהנגזרת היא

f'(x)=3x^2

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה