fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גבול לפי הגדרה – פונקציה ריבועית – תרגיל 102

תרגיל

הוכיחו שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 1 } x^2 + 5 = 6

הוכחה

ניקח

\varepsilon > 0

צריך למצוא

\delta > 0

כך שלכל x המקיים:

0 < | x - 1 | < \delta

יתקיים:

| f ( x ) - 6 | < \varepsilon

לשם כך, נניח שמתקיים:

0 < | x - 1 | < \delta

ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:

| f ( x ) - 6 | < \varepsilon

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, כלומר

| x - 1 |

נעשה זאת כך:

| f ( x ) - 6 | = | ( x^2 + 5 ) - 6 | = | x^2 - 1 |

= | ( x - 1 ) ( x + 1 ) | = | x - 1 | \cdot | x + 1 |

הגענו לביטוי של  x שמופיע בדיוק כמו בהנחה:

| x - 1 |

אבל נתקענו עם עוד ביטוי של x:

| x + 1 |

לביטוי הנוסף ננסה למצוא חסם עליון. לשם כך, נניח שמתקיים:

\delta = 1

זכרו: הדבר היחיד שאנחנו יכולים להשתמש בו הוא ההנחה שלנו.

אז נתחיל מההנחה:

| x - 1 | < \delta

| x - 1 | < 1

-1 < x - 1 < 1

0 < x < 2

1 < x + 1 < 3

צד שמאל אינו חשוב לנו. ובצד ימין קיבלנו את החסם המבוקש:

| x + 1 | < 3

כעת, נמשיך בהוכחה. ראינו שמתקיים:

| f ( x ) - 6 | = | x - 1 | \cdot | x + 1 |

נשתמש בחסם העליון שמצאנו ונקבל:

| x - 1 | \cdot | x + 1 | < 3 | x - 1 |

הגענו לביטוי שהמשתנה מופיע בו רק כפי שהוא מופיע בהנחה שלנו.

כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:

3 | x - 1 | < \varepsilon

ואז נבודד את הביטוי שמופיע בהנחה שלנו:

| x - 1 | < \frac { \varepsilon } { 3 }

ונגדיר:

\delta = \frac { \varepsilon } { 3 }

אבל כבר הגדרנו

\delta = 1

לכן, ניקח את המינימלי מבין השניים, כלומר נגדיר:

\delta = \min { \{ 1 , \frac { \varepsilon } { 3 } \} }

נראה ששתי האפשרויות מוכיחות את הנדרש.

אם מתקיים:

\frac { \varepsilon } { 3 } < 1

אז נקבל:

\delta = \frac { \varepsilon } { 3 }

וזה מסיים את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,

| f ( x ) - 6 | < 3 | x - 1 |

נשתמש בהנחה ונקבל:

3 | x - 1 | < 3 \delta

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

= 3 \cdot \frac { \varepsilon } { 3 } = \varepsilon

אפשרות שנייה – אם מתקיים:

1 < \frac { \varepsilon } { 3 }

אז נקבל:

\delta = 1

וגם כך מסיימים את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,

| f ( x ) - 6 | < 3 | x - 1 |

נשתמש בהנחה ונקבל:

3 | x - 1 | < 3 \cdot \delta

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

= 3 \cdot 1 < 3 \cdot \frac { \varepsilon } { 3 } = \varepsilon

לסיכום, קיבלנו משתי האפשרויות שמתקיים::

| f ( x ) - 6 | < \varepsilon

וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 1 } x^2 + 5 = 6

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה