fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גבול לפי הגדרה – x שואף לאינסוף – תרגיל 140

תרגיל

הוכיחו שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 5 } { 3 x + 2 } = 0

הוכחה

ניקח

\varepsilon > 0

צריך למצוא

M > 0

כך שלכל x המקיים:

x > M

יתקיים:

| f ( x ) - 0 | < \varepsilon

לשם כך, נניח שמתקיים:

x > M

ונוכיח בעזרת ההנחה הזו שמתקיים:

| f ( x ) - 0 | < \varepsilon

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, במקרה שלנו רק x. נעשה זאת כך:

| f ( x ) - 0 | = | \frac { 5 } { 3 x + 2 } - 0 | = | \frac { 5 } { 3 x + 2 } |

הגענו לביטוי שהמשתנה מופיע בו כפי שהוא מופיע בהנחה שלנו.

כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:

| \frac { 5 } { 3 x + 2 } | < \varepsilon

ראשית, נשים לב שהביטוי חיובי כי:

x > M > 0

לכן אפשר להוריד את הערך המוחלט, ונקבל:

\frac { 5 } { 3 x + 2 } < \varepsilon

נבודד את x:

\frac { 5 } { \varepsilon } < 3 x + 2

\frac { 5 } { \varepsilon } - 2 < 3 x

\frac { \frac { 5 } { \varepsilon } - 2 } { 3 } < x

ונגדיר:

M = \frac { \frac { 5 } { \varepsilon } - 2 } { 3 }

עכשיו, נראה שההגדרה שלנו אכן מסיימת את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,

| f ( x ) - 0 | = | \frac { 5 } { 3 x + 2 } |

נשתמש בהנחה ונקבל:

= \frac { 5 } { 3 x + 2 } < \frac { 5 } { 3 M + 2 }

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

= \frac { 5 } { 3 \frac { \frac { 5 } { \varepsilon } - 2 } { 3 } + 2 } = \frac { 5 } { \frac { 5 } { \varepsilon }} = \varepsilon

לסיכום, קיבלנו:

| f ( x ) - 0 | < \varepsilon

וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 5 } { 3 x + 2 } = 0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה