fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גבול לפי הגדרה – גבול חד-צדדי ופונקציה שואפת לאינסוף – תרגיל 149

תרגיל

הוכיחו שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 2^{ + } } \frac { 1 } { x - 2 } = \infty

הוכחה

ניקח

M > 0

צריך למצוא

\delta > 0

כך שלכל x המקיים:

0 < | x - 2^{+} | < \delta

יתקיים:

f ( x ) > M

לשם כך, נניח שמתקיים:

0 < | x - 2^{+} | < \delta

ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:

f ( x ) > M

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, כלומר

| x - 2 |

נעשה זאת כך:

f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 }

מכיוון שאנו מחשבים גבול מימין, הביטוי חיובי ולכן מתקיים:

f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 } = \frac { 1 } { | x - 2 | }

הגענו לביטוי שהמשתנה מופיע בו כפי שהוא מופיע בהנחה שלנו.

כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:

\frac { 1 } { | x - 2 | } > M

נבודד את הביטוי שמופיע בהנחה:

| x - 2 | < \frac { 1 } { M }

ונגדיר:

\delta = \frac { 1 } { M }

עכשיו, נראה שההגדרה שלנו אכן מסיימת את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,

f ( x ) = \frac { 1 } { | x - 2 | }

נשתמש בהנחה ונקבל:

= \frac { 1 } { | x - 2 | } > \frac { 1 } { \delta }

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

= \frac { 1 } { \delta } = \frac { 1 } { \frac { 1 } { M }} = M

לסיכום, קיבלנו:

f ( x ) > M

וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 2^{ + } } \frac { 1 } { x - 2 } = \infty

פתרון מפורט בוידאו


עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה