fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

תרגיל 7 – הוכחת גבול לפי הגדרה – גבול חד-צדדי על פונקציית שורש

תרגיל

הוכיחו שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 0^{ +} } \sqrt { x } = 0

הוכחה

ניקח

\epsilon > 0

צריך למצוא

\delta > 0

כך שלכל x המקיים:

0 < | x - 0^{+} | < \delta

יתקיים:

| f ( x ) - 0 | < \varepsilon

לשם כך, נניח שמתקיים:

0 < | x - 0^{+} | < \delta

מכיוון ששואפים מכיוון חיובי, הביטוי שווה-ערך לביטוי:

0 < x < \delta

ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:

| f ( x ) - 0 | < \varepsilon

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, במקרה שלנו רק x.

נעשה זאת כך:

| f ( x ) - 0 | = | \sqrt {x} - 0 | = | \sqrt {x} | = \sqrt {x}

כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:

\sqrt {x} < \varepsilon

ואז נבודד את הביטוי שמופיע בהנחה שלנו:

x < { \varepsilon } ^ 2

ונגדיר:

\delta = { \varepsilon } ^ 2

עכשיו, נראה שההגדרה שלנו אכן מסיימת את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,

| f ( x ) - 0 | = \sqrt {x}

נשתמש בהנחה ונקבל:

\sqrt {x} < \sqrt { \delta }

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

\sqrt { \delta } = \sqrt { { \varepsilon } ^ 2 }

לסיכום, קיבלנו:

| f ( x ) - 0 | < \varepsilon

וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 0^{ +} } \sqrt { x } = 0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה