fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גבול לפי הגדרה – נקודה ופונקציה שואפים לאינסוף – תרגיל 218

תרגיל

הוכיחו שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty } \sqrt { x } = \infty

הוכחה

ניקח

M > 0

צריך למצוא

T > 0

כך שלכל x המקיים:

x > T

יתקיים:

f ( x ) > M

לשם כך, נניח שמתקיים:

x > T

ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:

f ( x ) > M

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, במקרה שלנו רק x.

נעשה זאת כך:

f ( x ) = \sqrt {x}

כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:

\sqrt {x} > M

ואז נבודד את הביטוי שמופיע בהנחה שלנו, כלומר x:

x > M ^ 2

ונגדיר:

T = M ^ 2

עכשיו, נראה שההגדרה שלנו אכן מסיימת את ההוכחה כנדרש. ראשית,

f ( x ) = \sqrt { x }

נשתמש בהנחה ונקבל:

\sqrt {x} < \sqrt { T }

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

\sqrt { T } = \sqrt { M ^ 2 } = M

לסיכום, קיבלנו:

f ( x ) > M

וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty } \sqrt { x } = \infty

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה