fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גבול לפי הגדרה – פונקציית ערך מוחלט – תרגיל 194

תרגיל

הוכיחו שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow -5 } | 2 x + 9 | = 1

הוכחה

ניקח

\epsilon > 0

צריך למצוא

\delta > 0

כך שלכל x המקיים:

0 < | x + 5 | < \delta

יתקיים:

| f ( x ) - 1 | < \varepsilon

לשם כך, נניח שמתקיים:

0 < | x + 5 | < \delta

ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:

| f ( x ) - 1 | < \varepsilon

ראשית, נשים לב שבסביבת הנקודה

x = - 5

מתקיים:

2 x + 9 < 0

ניקח סביבה כזו, כלומר נגדיר:

| x + 5 | < \delta _ {1 }

כעת, כדי להוכיח שמתקיים:

| f ( x ) - 1 | < \varepsilon

נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, כלומר

| x + 5 |

נעשה זאת כך:

| f ( x ) - 1 | = | | 2 x + 9 | - 1 |

= | - ( 2 x + 9 ) - 1 | = | - 2 x - 10 |

= | - 2 ( x + 5 ) | = | - 2 | \cdot | x + 5 |

= 2 | x + 5 |

כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:

2 | x + 5 | < \varepsilon

ואז נבודד את הביטוי שמופיע בהנחה שלנו:

| x + 5 | < \frac { \varepsilon } { 2 }

ונגדיר:

\delta = \frac { \varepsilon } { 2 }

אבל כבר הגדרנו

\delta = \delta _ {1 }

לכן, ניקח את המינימלי מבין השניים, כלומר נגדיר:

\delta = \min \{{ \delta _ {1 } , \frac { \varepsilon } { 2 } }\}

נראה ששתי האפשרויות מוכיחות את הנדרש.

אם מתקיים:

\frac { \varepsilon } { 2 } < \delta _ {1 }

אז נקבל:

\delta = \frac { \varepsilon } { 2 }

וזה מסיים את ההוכחה כנדרש כך:

| f ( x ) - 1 | =2 | x + 5 |

נשתמש בהנחה ונקבל:

2 | x + 5 | < 2\delta

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

= 2\frac { \varepsilon } { 2 }= \varepsilon

אפשרות שנייה – אם מתקיים:

\delta _ {1 }< \frac { \varepsilon } { 2 }

אז נקבל:

\delta = \delta _ {1 }

וגם כך מסיימים את ההוכחה כנדרש:

| f ( x ) - 1 | =2 | x - 5 |

נשתמש בהנחה ונקבל:

2 | x - 5 | < 2\delta

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

2\delta = 2\delta _ {1 } <2\frac { \varepsilon } { 2 }=\varepsilon

לסיכום, בשתי האפשרויות קיבלנו:

| f ( x ) - 1 | < \varepsilon

וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow -5 } | 2 x + 9 | = 1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה