fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גבול לפי הגדרה – פונקציה לינארית – תרגיל 12

תרגיל

הוכיחו שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 3 } 2 x + 7 = 13

הוכחה

ניקח

\epsilon > 0

צריך למצוא

\delta > 0

כך שלכל x המקיים:

0 < | x - 3 | < \delta

יתקיים:

| f ( x ) - 13 | < \varepsilon

לשם כך, נניח שמתקיים:

0 < | x - 3 | < \delta

ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:

| f ( x ) - 13 | < \varepsilon

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, כלומר

| x - 3 |

נעשה זאת כך:

| f ( x ) - 13 | = | ( 2 x + 7 ) - 13 | = | 2 x - 6 |

= | 2 ( x - 3 ) | = 2 | x - 3 |

כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:

2 | x - 3 | < \varepsilon

ואז נבודד את הביטוי שמופיע בהנחה שלנו:

| x - 3 | < \frac { \varepsilon } { 2 }

ונגדיר:

\delta = \frac { \varepsilon } { 2 }

עכשיו, נראה שההגדרה שלנו אכן מסיימת את ההוכחה כנדרש. כפי שראינו,

| f ( x ) - 13 | = | ( 2 x + 7 ) - 13 | = 2 | x - 3 |

נשתמש בהנחה ונקבל:

2 | x - 3 | < 2 \delta

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

= 2 \cdot \frac { \varepsilon } { 2 } = \varepsilon

לסיכום, קיבלנו:

| f ( x ) - 13 | < \varepsilon

וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 3 } 2 x + 7 = 13

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה