תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2+x}-x
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב:
x=\infty
ונקבל:
\sqrt{\infty^2+\infty}-\infty=\infty-\infty
קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאינסוף פחות שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאינסוף פחות שואף לאינסוף” – אם יש ביטוי מהצורה a-b ולפחות אחד מהם הוא שורש, ננסה את שיטת הכפל בצמוד.
אם כן, נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה (שווה ל-1) בצמוד של הביטוי במונה. נקבל:
\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2+x}-x=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}
מנוסחת הכפל המקוצר, נקבל:
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=
הצבת אינסוף תניב שוב “שואף לאינסוף פחות שואף לאינסוף”, לכן נחלק מונה ומכנה באיבר השואף הכי מהר לאינסוף, בתרגיל שלנו זה האיבר:
x
לאחר החלוקה נקבל:
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+x}+x}{x}}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+x}{x^2}}+1}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}=
נציב שוב אינסוף והפעם נקבל:
=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\infty}}+1}=
=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=
=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=
=\frac{1}{1+1}=
=\frac{1}{2}
הערה: מספר סופי חלקֵי אינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה לחצו כאן.
דרך פתרון שגויה – לכאורה, אפשר לפתור את התרגיל גם כך:
\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2+x}-x=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}-x=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{1}{x}}-x=
מכיוון ש-x שואף לאינסוף, אז x חיובי ומתקיים:
\sqrt{x^2}=x
נציב בגבול ונקבל:
=\lim _ { x \rightarrow \infty} x\sqrt{1+\frac{1}{x}}-x=
כמו כן, מתקיים:
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0
נציב ונקבל:
=\lim _ { x \rightarrow \infty} x\sqrt{1+0}-x=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} x-x=0
אבל זו טעות!! ראשית, אי-אפשר לעשות הצבה חלקית בגבול. ברוב התרגילים זה יוביל לתוצאה שגויה. שנית, בתרגיל שלנו, x-x הוא בעצם אינסוף פחות אינסוף, ומצב זה אינו שווה אפס אלא מקרה אי-ודאות.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
אם x שואף לאינסוף אז שורש של x בריבוע זה איקס כי זה חיובי נכון??
נכון. זה גם כתוב בפתרון 🙂
בהצלחה.