הירשמו לצפיה ב-1000 פתרונות מפורטים

חישוב גבול של פונקציה – הפרש של פונקציות עם שורש בשאיפה לאינסוף – תרגיל 11625

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2+x}-x

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2+x}-x=\frac{1}{2}

פתרון מפורט

דבר ראשון, נציב:

x=\infty

ונקבל:

\sqrt{\infty^2+\infty}-\infty=\infty-\infty

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאינסוף פחות שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאינסוף פחות שואף לאינסוף” – אם יש ביטוי מהצורה a-b ולפחות אחד מהם הוא שורש, ננסה את שיטת הכפל בצמוד.

אם כן, נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה (שווה ל-1) בצמוד של הביטוי במונה. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2+x}-x=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}

מנוסחת הכפל המקוצר, נקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=

הצבת אינסוף תניב שוב “שואף לאינסוף פחות שואף לאינסוף”, לכן נחלק מונה ומכנה באיבר השואף הכי מהר לאינסוף, בתרגיל שלנו זה האיבר:

x

לאחר החלוקה נקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+x}+x}{x}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+x}{x^2}}+1}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}=

נציב שוב אינסוף והפעם נקבל:

=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\infty}}+1}=

=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=

=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=

=\frac{1}{1+1}=

=\frac{1}{2}

הערה: מספר סופי חלקֵי אינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה לחצו כאן.

דרך פתרון שגויה – לכאורה, אפשר לפתור את התרגיל גם כך:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2+x}-x=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}-x=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{1}{x}}-x=

מכיוון ש-x שואף לאינסוף, אז x חיובי ומתקיים:

\sqrt{x^2}=x

נציב בגבול ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} x\sqrt{1+\frac{1}{x}}-x=

כמו כן, מתקיים:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0

נציב ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} x\sqrt{1+0}-x=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} x-x=0

אבל זו טעות!! ראשית, אי-אפשר לעשות הצבה חלקית בגבול. ברוב התרגילים זה יוביל לתוצאה שגויה. שנית, בתרגיל שלנו, x-x הוא בעצם אינסוף פחות אינסוף, ומצב זה אינו שווה אפס אלא מקרה אי-ודאות.

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

לפוסט הזה יש 2 תגובות

  1. גיא ראובן

    אם x שואף לאינסוף אז שורש של x בריבוע זה איקס כי זה חיובי נכון??

    1. Hedva Online

      נכון. זה גם כתוב בפתרון 🙂
      בהצלחה.

כתיבת תגובה