fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

אינטגרל לא מסוים – פונקציה רציונלית (מנה של פולינומים) – תרגיל 1387

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int \frac{x}{{(x-1)}^3} dx

תשובה סופית


\int \frac{x}{{(x-1)}^3} dx =-\frac{1}{x-1} -\frac{1}{2{(x-1)}^2} +c

פתרון

אין לנו נוסחת אינטגרציה לפונקציה רציונלית (מנה של פולינומים), לכן ננסה לפשט את הפונקציה לאיברים של פונקציות אלמנטריות עם פונקציה פנימית לינארית. אחת השיטות לפישוט פונקציה רציונלית היא הוספת או הכפלת המונה בקבועים, כדי שיהיה דומה למכנה, ואז לנסות לצמצם איברים דומים. בתרגיל שלנו נחסיר 1 (ואם החסרנו, אז צריך גם להוסיף, כדי שלא לשנות את הפונקציה המקורית) ונקבל:

\int \frac{x}{{(x-1)}^3} dx=

=\int \frac{x-1+1}{{(x-1)}^3} dx=

=\int \frac{x-1}{{(x-1)}^3}+\frac{1}{{(x-1)}^3} dx=

=\int \frac{1}{{(x-1)}^2}+\frac{1}{{(x-1)}^3} dx=

=\int {(x-1)}^{-2}+{(x-1)}^{-3} dx=

כעת, נשתמש בנוסחאות אינטגרציה ונקבל:

 =\frac{{(x-1)}^{-1}}{-1} +\frac{{(x-1)}^{-2}}{-2} +c =

 =-\frac{1}{x-1} -\frac{1}{2{(x-1)}^2} +c

שימו לב שיכולנו לעשות זאת רק כי הפונקציה הפנימית היא פונקציה לינארית מהצורה ax+b (השתמשנו בכלל השלישי בכללי האינטגרציה). אחרת, לא היינו יכולים להשתמש בנוסחאות האינטגרציה המיידיות.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?