fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא מסוים – פונקציה רציונלית (מנה של פולינומים) – תרגיל 1383

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int \frac{x^2+4x}{x+2} dx

תשובה סופית


\int \frac{x^2+4x}{x+2} dx =\frac{x^2}{2} + 2x -4\ln|x+2|+c

פתרון

אין לנו נוסחת אינטגרציה לפונקציה רציונלית (מנה של פולינומים), לכן ננסה לפשט את הפונקציה לאיברים של פונקציות אלמנטריות עם פונקציה פנימית לינארית. אחת השיטות לפישוט פונקציה רציונלית היא להשלים פולינום לאיבר ריבועי (שיטה זו נקראת השלמה לריבוע), ואז לנסות לצמצם איברים דומים. בתרגיל שלנו, נשים לב שמתקיים:

x^2+4x={(x+2)}^2-4

נשים את הביטוי שווה הערך בפונקציה ונקבל:

\int \frac{x^2+4x}{x+2} dx=

=\int \frac{{(x+2)}^2-4}{x+2} dx=

=\int \frac{{(x+2)}^2}{x+2}-\frac{4}{x+2} dx=

=\int x+2-\frac{4}{x+2} dx=

כעת, נשתמש בנוסחאות אינטגרציה ונקבל:

 =\frac{x^2}{2} + 2x -4\ln|x+2|+c

שימו לב שיכולנו לעשות זאת רק כי הפונקציה הפנימית היא פונקציה לינארית מהצורה ax+b (השתמשנו בכלל השלישי בכללי האינטגרציה). אחרת, לא היינו יכולים להשתמש בנוסחאות האינטגרציה המיידיות באיבר השני.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה