fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא מסוים – מנה של פונקציות עם שורש – תרגיל 1396

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int \frac{x}{\sqrt{x+1}-1} dx

תשובה סופית


\int \frac{x}{\sqrt{x+1}-1} dx=\frac{2}{3}{(x+1)}^{\frac{3}{2}} +x+c

פתרון

אין לנו נוסחת אינטגרציה לפונקציה כזו, לכן ננסה לפשט את הפונקציה לאיברים של פונקציות אלמנטריות עם פונקציה פנימית לינארית. אחת השיטות לפישוט פונקציה, שיש בה איברים עם שורש, היא הכפלה בצמוד. אם זה מצלצל מוכר, זה משום שהשתמשנו בשיטה זו בחישובי גבולות 🙂 

בתרגיל שלנו, הצמוד של המכנה הוא האיבר:

(\sqrt{x+1}+1)

נכפול את המונה ואת המכנה בביטוי לעיל ונקבל:

\int \frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{x+1-1} dx=

שימו לב שבמכפלה במכנה השורש התבטל (השתמשנו בנוסחה מנוסחאות הכפל המקוצר, אך גם פתיחת סוגריים רגילה הייתה מובילה לאותה תוצאה). נמשיך,

=\int \frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{x} dx=

=\int \sqrt{x+1}+1 dx=

נסדר את האיברים, כדי שנוכל להשתמש בנוסחאות האינטגרציה בקלות:

=\int {(x+1)}^{\frac{1}{2}}+1 dx=

כעת, נשתמש בנוסחאות אינטגרציה ונקבל:

 =\frac{{(x+1)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} +x +c =

 =\frac{2}{3}{(x+1)}^{\frac{3}{2}} +x+c

שימו לב שיכולנו לעשות זאת רק כי הפונקציה הפנימית היא פונקציה לינארית מהצורה ax+b (השתמשנו בכלל השלישי בכללי האינטגרציה). אחרת, לא היינו יכולים להשתמש בנוסחאות האינטגרציה המיידיות.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה