fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא מסוים – מנה של פונקציות עם שורש – תרגיל 1398

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx

תשובה סופית


\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx =\frac{2}{3} {(x+1)}^{\frac{3}{2}}-2{(x+1)}^{\frac{1}{2}} +c

פתרון

אין לנו נוסחת אינטגרציה לפונקציה כזו, לכן ננסה לפשט את הפונקציה לאיברים של פונקציות אלמנטריות עם פונקציה פנימית לינארית. אחת השיטות לפישוט פונקציה שהיא מנה של פונקציות היא הוספת או הכפלת המונה בקבוע, כדי שהמונה יהיה דומה למכנה, ואז לנסות לצמצם איברים דומים. בתרגיל שלנו נוסיף 1 (ואם הוספנו, אז צריך גם להחסיר, כדי שלא לשנות את הפונקציה המקורית). כך נקבל:

\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx=

=\int \frac{x+1-1}{\sqrt{x+1}} dx=

=\int \frac{x+1}{\sqrt{x+1}}- \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx=

=\int \sqrt{x+1}- \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx=

נסדר את האיברים, כדי שנוכל להשתמש בנוסחאות האינטגרציה בקלות:

=\int {(x+1)}^{\frac{1}{2}}- {(x+1)}^{-\frac{1}{2}} dx=

כעת, נשתמש בנוסחאות אינטגרציה ונקבל:

 =\frac{{(x+1)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} -\frac{{(x+1)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c =

 =\frac{2}{3}{(x+1)}^{\frac{3}{2}}-2{(x+1)}^{\frac{1}{2}} +c

שימו לב שיכולנו לעשות זאת רק כי הפונקציה הפנימית היא פונקציה לינארית מהצורה ax+b (השתמשנו בכלל השלישי בכללי האינטגרציה). אחרת, לא היינו יכולים להשתמש בנוסחאות האינטגרציה המיידיות.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה