fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות שיעזרו לך להצליח!

הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

אינטגרל לא מסוים – סכום פונקציות מעריכיות בריבוע – תרגיל 1401

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int {(e^x+e^{-x})}^2 dx

תשובה סופית


\int {(e^x+e^{-x})}^2 dx=\frac{1}{2}e^{2x}+2x-\frac{1}{2}e^{-2x} +c

פתרון מפורט

אין לנו נוסחת אינטגרציה לפונקציה כזו, לכן ננסה לפשט את הפונקציה לאיברים של פונקציות אלמנטריות עם פונקציה פנימית לינארית. לפעמים, צריך רק לפתוח סוגריים 🙂 

נשתמש בנוסחת כפל מקוצר (מעלה שנייה, נוסחה ראשונה) ונקבל:

\int {(e^x+e^{-x})}^2 dx=

\int e^{2x}+2e^x e^{-x}+ e^{-2x}dx

\int e^{2x}+2+ e^{-2x}dx

כעת, נשתמש בנוסחאות אינטגרציה ונקבל:

 =\frac{e^{2x}}{2}+2x+\frac{e^{-2x}}{-2}+c =

 =\frac{1}{2}e^{2x}+2x-\frac{1}{2}e^{-2x} +c

שימו לב שיכולנו לעשות זאת רק כי הפונקציה הפנימית היא פונקציה לינארית מהצורה ax+b (השתמשנו בכלל השלישי בכללי האינטגרציה). אחרת, לא היינו יכולים להשתמש בנוסחאות האינטגרציה המיידיות.

 
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה גישה לכל הפתרונות באתר?