תרגיל
חשבו את האינטגרל:
\int {(e^x+e^{-x})}^2 dx
תשובה סופית
פתרון מפורט
אין לנו נוסחת אינטגרציה לפונקציה כזו, לכן ננסה לפשט את הפונקציה לאיברים של פונקציות אלמנטריות עם פונקציה פנימית לינארית. לפעמים, צריך רק לפתוח סוגריים 🙂
נשתמש בנוסחת כפל מקוצר (מעלה שנייה, נוסחה ראשונה) ונקבל:
\int {(e^x+e^{-x})}^2 dx=
\int e^{2x}+2e^x e^{-x}+ e^{-2x}dx
\int e^{2x}+2+ e^{-2x}dx
כעת, נשתמש בנוסחאות אינטגרציה ונקבל:
=\frac{e^{2x}}{2}+2x+\frac{e^{-2x}}{-2}+c =
=\frac{1}{2}e^{2x}+2x-\frac{1}{2}e^{-2x} +c
שימו לב שיכולנו לעשות זאת רק כי הפונקציה הפנימית היא פונקציה לינארית מהצורה ax+b (השתמשנו בכלל השלישי בכללי האינטגרציה). אחרת, לא היינו יכולים להשתמש בנוסחאות האינטגרציה המיידיות.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
