fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – נקודת אי-רציפות בתוך תחום האינטגרציה – תרגיל 1597

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_0^4 \frac{x}{x^2-9} dx

תשובה סופית


האינטגרל מתבדר

פתרון

נשים לב שבנקודה x=3 יש נקודת אי-רציפות, כי היא מאפסת את המכנה. לכן, האינטגרל לא אמיתי, וצריך לפצל את האינטגרל בנקודה זו לשני אינטגרלים לא אמיתיים. בכל אחד מהם יהיה רק גבול אינטגרציה לא אמיתי אחד, שנעביר לחישוב גבול. נפצל את האינטגרל:

\int_0^4 \frac{x}{x^2-9} dx=

=\int_0^3 \frac{x}{x^2-9} dx+ \int_3^4 \frac{x}{x^2-9} dx=

נעביר לחישוב גבול:

=\lim_{t \rightarrow 3^{-}}\int_0^t \frac{x}{x^2-9} dx+\lim_{s \rightarrow 3^{+}} \int_s^4 \frac{x}{x^2-9} dx

בשני האינטגרלים יש את אותה פונקציה, לכן קודם נחשב אינטגרל לא מסוים של הפונקציה, כלומר

\int \frac{x}{x^2-9} dx=

שימו לב שיש כאן את הביטוי:

x^2

יחד עם הנגזרת שלו:

x

חסר כפל בשתיים, אבל קבועים תמיד אפשר להוסיף או להחסיר בפעולות חשבון פשוטות.

כאשר אנו במצב כזה – שיש בפונקציה ביטוי עם הנגזרת שלו – זהו רמז להשתמש בשיטת ההצבה. לכן, נגדיר משתנה חדש:

u=x^2-9

ונקבל:

du=2x dx

\frac{1}{2}du=x dx

נציב את המשתנה החדש באינטגרל ונקבל:

\frac{1}{2}\int \frac{1}{u} du=

זה אינטגרל לא מסוים. נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה:

=\frac{1}{2} \ln|u|+c

נחזור למשתנה המקורי:

=\frac{1}{2} \ln|x^2-9|+c

נחזור לפתור את האינטגרלים הלא-אמיתיים. נתחיל מהגבול הראשון. נציב בו את התוצאה שקיבלנו:

\lim_{t \rightarrow 3^{-}}\int_0^t \frac{x}{x^2-9} dx=

=\lim_{t \rightarrow 3^{-}}[\frac{1}{2} \ln|x^2-9|]_0^t=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow 3^{-}}(\frac{1}{2} \ln(t^2+9)-\frac{1}{2} \ln|0^2-9|)=

=\lim_{t \rightarrow 3^{-}}(\frac{1}{2} \ln|t^2-9|-\frac{1}{2} \ln9)=

כעת, נחשב את הגבול. נציב את t ונקבל:

=\frac{1}{2} \ln|(3^{-})^2-9|-\frac{1}{2} \ln9=

=\frac{1}{2} \ln|0^{-}|-\frac{1}{2} \ln9=

=\frac{1}{2}\cdot (-\infty)-\frac{1}{2} \ln9=-\infty

נחשב את הגבול השני. נציב בו את התוצאה שקיבלנו:

\lim_{s \rightarrow 3^{+}} \int_s^4 \frac{x}{x^2-9} dx=

=\lim_{s \rightarrow 3^{+}}[\frac{1}{2} \ln|x^2-9|]_s^4=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{s \rightarrow 3^{+}}\frac{1}{2} \ln|4^2-9|-\frac{1}{2} \ln|s^2-9|=

=\lim_{s \rightarrow 3^{+}}\frac{1}{2} \ln 7 -\frac{1}{2} \ln|s^2-9|=

כעת, נחשב את הגבול. נציב את s ונקבל:

=\frac{1}{2} \ln 7 -\frac{1}{2} \ln|(3^{+})^2-9|=

=\frac{1}{2} \ln 7 -\frac{1}{2} \ln|0^{+}|=

=\frac{1}{2} \ln 7 -\frac{1}{2} \cdot (-\infty)=\infty

קיבלנו שהגבולות אינסופיים, ולכן האינטגרל מתבדר. 

הערה: מספיק שאחד הגבולות הוא אינסופי, כדי לקבוע שהאינטגרל מתבדר.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה