fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – מכפלה של פולינום ופונקציה מעריכית – תרגיל 1587

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{-\infty}^0 (1+2x)\cdot e^{-x} dx

תשובה סופית


\int_{-\infty}^0 (1+2x)\cdot e^{-x} dx=-\infty

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן נעבור  לגבול:

\int_{-\infty}^0 (1+2x)\cdot e^{-x} dx=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^0 (1+2x)\cdot e^{-x} dx=

נפתור את האינטגרל. יש בפונקציה מכפלה של שתי פונקציות ממשפחות שונות: פולינום ופונקציה מעריכית. זה רמז להשתמש בנוסחת אינטגרציה בחלקים. לכן, נגדיר:

f'(x)=e^{-x}, g(x)=1+2x

ונקבל:

f(x)=-e^{-x}, g'(x)=2

נציב את הפונקציות לפי הנוסחה:

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [-(1+2x)e^{-x}]_{t}^0 +\int_{t}^0 2e^{-x}dx =

ונחשב את האינטגרל:

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [-(1+2\cdot 0)e^{-0}-(-(1+2t)e^{-t})]+[2\cdot (-e^{-x})]_{t}^0=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [-(1+0)\cdot 1+(1+2t)e^{-t})]+2\cdot [-1+e^{-t})]=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} -1+e^{-t}+2te^{-t}-2+2e^{-t}=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} -3+(3+2t)e^{-t}=

כעת, נפתור את הגבול. נציב:

t=-\infty

ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow -\infty} -3+(3+2\cdot(-\infty))e^{-(-\infty)}=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} -3-\infty\cdot \infty=-\infty

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה