fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – פונקציית ln עם פרמטר – תרגיל 1579

תרגיל 

לאלו ערכים של הפרמטר p האינטגרל:

\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\ln^p x} dx

מתכנס?

תשובה סופית


p>1

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן נעבור  לגבול:

\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\ln^p x} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{2}^{t} \frac{1}{x\ln^p x} dx

ראשית, נפתור את האינטגרל כאינטגרל לא מסוים, כלומר נחשב את האינטגרל:

\int \frac{1}{x\ln^p x} dx=

אנו רואים בפונקציה ביטוי:

ln x

יחד עם הנגזרת שלו:

\frac{1}{x}

כאשר אנו רואים פונקציה, שיש בה ביטוי והנגזרת שלו, זה רמז להשתמש בשיטת ההצבה. לכן, נגדיר משתנה חדש:

u=\ln x

ונקבל:

du=\frac{1}{x} dx

נציב את המשתנה החדש באינטגרל:

\int \frac{1}{x\ln^p x} dx=

=\int \frac{1}{u^p} du=

=\int u^{-p} du=

נפתור את האינטגרל בעזרת נוסחאות אינטגרציה:

=\frac{u^{-p+1}}{-p+1}+c=

ונחזור למשתנה המקורי:

=\frac{\ln^{-p+1} x}{-p+1}+c

נחזור לפתור את האינטגרל הלא-אמיתי. נציב בו את התוצאה שקיבלנו:

\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{2}^{t} \frac{1}{x\ln^p x} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\frac{\ln^{-p+1} x}{-p+1}]_{2}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{\ln^{-p+1} t}{-p+1}-\frac{\ln^{-p+1} 2}{-p+1}=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{1-p}(\ln^{1-p} t-\ln^{1-p} 2)=

נחשב את הגבול. נציב

t = \infty

ונקבל

= \frac{1}{1-p}(\ln^{1-p} \infty -\ln^{1-p} 2)

רואים שהתוצאה משתנה לפי ערך הפרמטר p.

אם p=1, מקבלים ביטוי לא מוגדר מתמטית, כי המכנה שווה לאפס.

אם p>1, אז מתקיים:

1-p<0

ומקבלים:

\frac{1}{1-p}(0 -\ln^{1-p} 2)=

= -\frac{\ln^{1-p} 2}{1-p}<\infty

ואם p<1, אז מתקיים:

1-p>0

ומקבלים:

\frac{1}{1-p}(\ln^{1-p} \infty -\ln^{1-p} 2)=

= \frac{1}{1-p}(\infty -\ln^{1-p} 2)=

= \frac{1}{1-p}\cdot \infty=\infty

קיבלנו תוצאה סופית רק עבור p>1, ולכן רק עבור ערכים אלו האינטגרל מתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה