fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – שני גבולות אינטגרציה אינסופיים – תרגיל 1566

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{e^x+e^{-x}} dx

תשובה סופית


\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{e^x+e^{-x}} dx=\frac{\pi}{2}

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו שני גבולות אינטגרציה אינסופיים. לכן נבחר נקודה בתחום שהפונקציה רציפה בה, למשל x=0, ונפצל את האינטגרל לשני אינטגרלים לא אמיתיים. בכל אחד מהם יהיה רק גבול אינטגרציה אינסופי אחד, שנעביר לחישוב גבול.

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{e^x+e^{-x}} dx=

=\int_{-\infty}^0 \frac{1}{e^x+e^{-x}} dx+\int_0^{\infty} \frac{1}{e^x+e^{-x}} dx=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_t^0 \frac{1}{e^x+e^{-x}} dx + \lim_{s \rightarrow \infty} \int_0^s \frac{1}{e^x+e^{-x}} dx

בשני האינטגרלים יש את אותה פונקציה, לכן קודם נחשב אינטגרל לא מסוים של הפונקציה:

\int\frac{1}{e^x+e^{-x}} dx=

אנו רוצים להגיע למצב שבו בפונקציה יש ביטוי עם הנגזרת שלו, לכן נפתח את הפונקציה:

=\int\frac{1}{e^{-x}(e^{2x}+1)} dx=

=\int\frac{e^x}{e^{2x}+1} dx=

=\int\frac{e^x}{({e^x})^2+1} dx

כעת, הביטוי

e^x

מופיע פעמיים בפונקציה, והנגזרת שלו שווה לעצמו. כאשר אנו במצב כזה – שיש בפונקציה ביטוי עם הנגזרת שלו – זהו רמז להשתמש בשיטת ההצבה. לכן, נגדיר משתנה חדש:

u=e^x

ונקבל:

du=e^x dx

נציב את המשתנה החדש באינטגרל ונקבל:

\int\frac{e^x}{({e^x})^2+1} dx=

=\int \frac{1}{1+u^2} du =

זה אינטגרל לא מסוים. נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה:

=\arctan u+c

נחזור למשתנה המקורי:

=\arctan e^x+c

נחזור לפתור את האינטגרלים הלא-אמיתיים. נציב בהם את התוצאה שקיבלנו:

\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_t^0 \frac{1}{e^x+e^{-x}} dx + \lim_{s \rightarrow \infty} \int_0^s \frac{1}{e^x+e^{-x}} dx=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [\arctan e^x]_t^0+ \lim_{s \rightarrow \infty} [\arctan e^x]_0^s=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow -\infty} (\arctan e^0-\arctan e^t)+ \lim_{s \rightarrow \infty} (\arctan e^s-\arctan e^0)=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} (\arctan 1-\arctan e^t) + \lim_{s \rightarrow \infty} (\arctan e^s-\arctan 1)=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} (\frac{\pi}{4}-\arctan e^t) + \lim_{s \rightarrow \infty} (\arctan e^s-\frac{\pi}{4})=

נציב את t ואת s ונקבל:

=(\frac{\pi}{4}-\arctan e^{-\infty}) + (\arctan e^{\infty}-\frac{\pi}{4})=

=(\frac{\pi}{4}-\arctan 0) + (\arctan \infty-\frac{\pi}{4})=

=\frac{\pi}{4}-0 +\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=

=\frac{\pi}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה