fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – מנה של פונקציות מעריכיות – תרגיל 1527

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_3^{\infty} \frac{e^{-3x}}{9+e^{-3x}} dx

תשובה סופית


\int_3^{\infty} \frac{e^{-3x}}{9+e^{-3x}} dx=-\frac{1}{3}\ln 9+\frac{1}{3}\ln(9+e^{-9})

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן נעבור  לגבול:

\int_3^{\infty} \frac{e^{-3x}}{9+e^{-3x}} dx =

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_3^{t} \frac{e^{-3x}}{9+e^{-3x}} dx

ראשית, נפתור את האינטגרל כאינטגרל לא מסוים, כלומר נחשב את האינטגרל:

\int \frac{e^{-3x}}{9+e^{-3x}} dx

אנו מזהים שבפונקציה, הביטוי

e^{-3x}

מופיע פעמיים, כלומר יש לנו כאן פונקציה יחד עם הנגזרת שלה. זהו רמז להשתמש בשיטת ההצבה. נגדיר:

s = 9+e^{-3x}

ונקבל:

ds = -3e^{-3x} dx

נציב את המשתנה החדש באינטגרל:

\int \frac{e^{-3x}}{9+e^{-3x}} dx =

=-\frac{1}{3}\int \frac{1}{s} ds =

נפתור את האינטגרל:

=-\frac{1}{3}\ln |s| +c=

נחזור למשתנה המקורי:

=-\frac{1}{3}\ln (9+e^{-3x}) +c=

נחזור לאינטגרל הלא-אמיתי. נציב בו את התוצאה שקיבלנו:

\lim_{t \rightarrow \infty} \int_3^{t} \frac{e^{-3x}}{9+e^{-3x}} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{1}{3}\ln (9+e^{-3x})]_3^{t}

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} -\frac{1}{3}(\ln (9+e^{-3t})-(-\frac{1}{3}\ln(9+e^{-3\cdot 3}))=

=\lim_{t \rightarrow \infty} -\frac{1}{3}\ln (9+e^{-3t})+\frac{1}{3}\ln(9+e^{-9})=

נפתור את הגבול. נציב

t=\infty

ונקבל:

=-\frac{1}{3}\ln (9+e^{-3\cdot\infty})+\frac{1}{3}\ln(9+e^{-9})=

=-\frac{1}{3}\ln (9+e^{-\infty})+\frac{1}{3}\ln(9+e^{-9})=

=-\frac{1}{3}\ln (9+0)+\frac{1}{3}\ln(9+e^{-9})=

=-\frac{1}{3}\ln 9+\frac{1}{3}\ln(9+e^{-9})

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה