fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – שני גבולות אינטגרציה לא אמיתיים – תרגיל 1541

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{-\infty}^0 \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx

תשובה סופית


\int_{-\infty}^0 \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx=1

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו שני גבולות אינטגרציה לא אמיתיים. האחד, אינסופי. והשני, נקודת אי-רציפות, הנקודה אפס. לכן נבחר נקודה בתחום שהפונקציה רציפה בה, למשל x=-1, ונפצל את האינטגרל לשני אינטגרלים לא אמיתיים. בכל אחד מהם יהיה רק גבול אינטגרציה לא אמיתי אחד, שנעביר לחישוב גבול.

\int_{-\infty}^0 \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx=

=\int_{-\infty}^{-1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx+\int_{-1}^0 \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_t^{-1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx + \lim_{s \rightarrow 0^{-}} \int_{-1}^s \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx=

בשני האינטגרלים יש את אותה פונקציה, לכן קודם נחשב אינטגרל לא מסוים של הפונקציה:

\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx=

שימו לב שיש כאן את הביטוי:

\frac{1}{x}

יחד עם הנגזרת שלו:

\frac{1}{x^2}

כאשר אנו במצב כזה – שיש בפונקציה ביטוי עם הנגזרת שלו – זהו רמז להשתמש בשיטת ההצבה. לכן, נגדיר משתנה חדש:

r=\frac{1}{x}

ונקבל:

dr=-\frac{1}{x^2}dx

נציב את המשתנה החדש באינטגרל ונקבל:

\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx=

=\int -e^r dr =

זה אינטגרל לא מסוים. נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה:

=-e^r+c

נחזור למשתנה המקורי:

=-e^{\frac{1}{x}}+c

נחזור לפתור את האינטגרלים הלא-אמיתיים. נציב בהם את התוצאה שקיבלנו:

\lim_{t \rightarrow -\infty} \int_t^{-1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx + \lim_{s \rightarrow 0^{-}} \int_{-1}^s \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} [-e^{\frac{1}{x}}]_t^{-1} + \lim_{s \rightarrow 0^{-}} [-e^{\frac{1}{x}}]_{-1}^s=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow -\infty} -e^{\frac{1}{-1}}-(-e^{\frac{1}{t}})+ \lim_{s \rightarrow 0^{-}} -e^{\frac{1}{s}}-(-e^{\frac{1}{-1}})=

=\lim_{t \rightarrow -\infty} (-e^{-1}+e^{\frac{1}{t}})+ \lim_{s \rightarrow 0^{-}} (-e^{\frac{1}{s}}+e^{-1})=

נציב את t ואת s ונקבל:

=(-e^{-1}+1)+ (0+e^{-1})=1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה