fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – פונקציה עם פרמטר – תרגיל 1534

תרגיל 

לאלו ערכים של הפרמטר p האינטגרל:

\int_{0}^1 \frac{1}{x^p} dx

מתכנס?

תשובה סופית


p<1

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה שהוא נקודת אי-רציפות, הנקודה אפס. לכן נעבור  לגבול:

\int_{0}^1 \frac{1}{x^p} dx=

=\lim_{t \rightarrow 0^{+}} \int_t^1 \frac{1}{x^p} dx=

=\lim_{t \rightarrow 0^{+}} \int_t^1 x^{-p} dx=

נפתור את האינטגרל:

=\lim_{t \rightarrow 0^{+}} [\frac{x^{-p+1}}{-p+1}]_t^1 =

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1^{-p+1}}{-p+1}- \frac{t^{-p+1}}{-p+1}=

=\lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{-p+1}- \frac{t^{-p+1}}{-p+1}=

נחשב את הגבול. נציב

t = 0^{+}

ונקבל

=\frac{1}{-p+1}- \frac{(0^{+})^{-p+1}}{-p+1}=

רואים שהתוצאה משתנה לפי ערך הפרמטר p.

אם p=1, מקבלים ביטוי לא מוגדר מתמטית, כי המכנה שווה לאפס.

אם p>1, אז מתקיים:

-p+1<0

ומקבלים:

\lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{-p+1}- \frac{t^{-p+1}}{-p+1}=

= \frac{1}{-p+1}- \frac{(0^{+})^{-p+1}}{-p+1}=-\infty

ואם p<1, אז מתקיים:

-p+1>0

ומקבלים:

\lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{-p+1}- \frac{t^{-p+1}}{-p+1}=

= \frac{1}{-p+1}- \frac{(0^{+})^{-p+1}}{-p+1}= \frac{1}{-p+1}

קיבלנו תוצאה סופית רק עבור p<1, ולכן רק עבור ערכים אלו האינטגרל מתכנס.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה