fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא מסוים – פולינום עם מקדמים בתוך שורש – תרגיל 2033

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int \sqrt{9-25x^2} dx

תשובה סופית


\int \sqrt{9-25x^2} dx =\frac{1}{2} x\cdot\sqrt{9-25 x^2}+\frac{9}{10}\arcsin (\frac{5}{3} x)+c

פתרון

באינטגרל עם פונקציה מצורה זו נשתמש בהצבה טריגונומטרית ונגדיר:

x=\frac{3}{5}\sin t

ואז

dx=\frac{3}{5}\cos t dt

נציב את המשתנה החדש באינטגרל ונקבל:

\int \sqrt{9-25x^2} dx=

=\frac{3}{5}\int \sqrt{9-25{(\frac{3}{5}\sin t)}^2}\cdot \cos t dt=

=\frac{3}{5}\int \sqrt{9-25\frac{9}{25}\sin^2 t}\cdot \cos t dt=

=\frac{3}{5}\cdot \sqrt{9} \int \sqrt{1-\sin^2 t}\cdot \cos t dt=

=\frac{9}{5} \int \sqrt{1-\sin^2 t}\cdot \cos t dt=

נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\sin^2 t+\cos^2 t=1

נבודד את הביטוי שלנו:

1-\sin^2 t=\cos^2

נציב באינטגרל ונקבל:

=\frac{9}{5} \int \sqrt{\cos^2 t}\cdot \cos t dt=

=\frac{9}{5} \int \cos t \cdot \cos t dt=

=\frac{9}{5} \int\cos^2 t dt=

נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\cos (2t)=2\cos^2 t -1

נבודד את הביטוי שלנו:

\cos^2 t=\frac{1}{2} (\cos (2t)+1)

נציב באינטגרל שלנו ונקבל:

=\frac{9}{5}\cdot\frac{1}{2}\int(\cos(2t)+1)dt=

קיבלנו אינטגרל מיידי עם פונקציה פנימית לינארית. נשתמש בנוסחת אינטגרציה ובכלל השלישי בכללי האינטגרציה ונקבל:

=\frac{9}{10}(\frac{\sin (2t)}{2}+t)+c=

כדי לחזור למשתנה x נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\sin (2t)=2\sin t\cdot \cos t

נציב בתוצאה ונקבל:

=\frac{9}{10}(\frac{2\sin t\cdot \cos t}{2}+t)+c=

=\frac{9}{10}(\sin t\cdot \cos t+t)+c=

ניזכר בהגדרה שלנו:

x=\frac{3}{5}\sin t

נעביר אגפים ונקבל:

\frac{5}{3} x=\sin t

כמו כן, אם נפעיל פונקציה הופכית, נוכל לבודד את t:

\arcsin (\frac{5}{3} x)=t

ונשים לב שמתקיים:

\cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=

=\sqrt{1-{(\frac{5}{3} x)}^2}=

=\sqrt{1-\frac{25}{9} x^2}=

=\sqrt{\frac{1}{9}(9-25 x^2)}=

=\frac{1}{3}\sqrt{9-25 x^2}

נציב הכל באינטגרל כדי לחזור ל-x:

=\frac{9}{10}(\frac{5}{3} x\cdot \frac{1}{3}\sqrt{9-25 x^2}+\arcsin (\frac{5}{3} x))+c=

=\frac{1}{2} x\cdot\sqrt{9-25 x^2}+\frac{9}{10}\arcsin (\frac{5}{3} x)+c

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה