fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא מסוים – פולינום בתוך שורש – תרגיל 2021

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int \sqrt{1-x^2} dx

תשובה סופית


\int \sqrt{1-x^2} dx =\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x)+c

פתרון

באינטגרל עם פונקציה מצורה זו נשתמש בהצבה טריגונומטרית ונגדיר:

x=\sin t

ואז

dx=\cos t dt

נציב את המשתנה החדש באינטגרל ונקבל:

\int \sqrt{1-x^2} dx=

=\int \sqrt{1-\sin^2 t}\cdot \cos t dt=

=\int \cos^2 t dt=

נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\cos (2t)=2\cos^2 t -1

נבודד את הביטוי שלנו:

\cos^2 t=\frac{1}{2} (\cos (2t)+1)

נציב באינטגרל ונקבל:

=\frac{1}{2}\int\cos (2t)+1 dt=

קיבלנו אינטגרל מיידי עם פונקציה פנימית לינארית. נשתמש בנוסחת אינטגרציה ובכלל השלישי בכללי האינטגרציה ונקבל:

=\frac{1}{2}(\frac{\sin (2t)}{2}+t)+c=

כדי לחזור למשתנה x נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\sin (2t)=2\sin t\cdot \cos t

נציב בתוצאה ונקבל:

=\frac{1}{2}(\frac{2\sin t\cdot \cos t}{2}+t)+c=

=\frac{1}{2}(\sin t\cdot \cos t+t)+c=

=\frac{1}{2}(\sin t\cdot \sqrt{1-\sin^2 t}+t)+c=

עכשיו קל לחזור ל-x:

=\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x)+c

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה