fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא מסוים – פונקציית arcsin עם שורש – תרגיל 2006

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int \arcsin \sqrt {x} dx

תשובה סופית


\int \arcsin \sqrt {x} dx =(x-\frac{1}{2})\arcsin\sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1-x}+c

פתרון

נהפוך את הפונקציה באינטגרל למכפלה:

\int 1\cdot \arcsin \sqrt {x} dx=

כדי להשתמש בנוסחת אינטגרציה בחלקים. לשם כך, נגדיר:

f'(x)=1, g(x)=\arcsin \sqrt{x}

ואז:

f(x)=x, g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}

נציב את הנתונים לפי הנוסחה ונקבל:

=x\arcsin \sqrt{x}-\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx=

עכשיו, נשתמש בשיטת ההצבה. נגדיר משתנה חדש:

t=\sqrt{x}

ואז

dt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx

נבודד את dx:

2tdt=dx

נציב את המשתנה החדש באינטגרל:

=x\arcsin\sqrt{x}-\frac{1}{2}\int\frac{t\cdot 2t}{\sqrt{1-t^2}}dt=

נסדר:

=x\arcsin\sqrt{x}-\int\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}dt=

נחשב את האינטגרל:

-\int\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}dt=

נפתח את הביטוי:

=-\int\frac{t^2-1+1}{\sqrt{1-t^2}}dt=

=-\int\frac{t^2-1}{\sqrt{1-t^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=

=\int\frac{1-t^2}{\sqrt{1-t^2}}dt-\int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=

=\int\sqrt{1-t^2}dt-\int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt

נפתור את האינטגרל הראשון:

\int\sqrt{1-t^2}dt

זו צורה ידועה להצבה טריגונומטרית. נגדיר:

t=\sin u

ומקבלים:

\int\sqrt{1-t^2}dt=\int \sqrt{1-\sin^2 u}\cdot\cos u du=

והפתרון שלו הוא

=\frac{1}{2}(t\sqrt{1-t^2}+\arcsin t)+c

לפתרון מלא של האינטגרל הזה לחצו כאן.

נפתור את האינטגרל השני:

-\int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=

זה אינטגרל מיידי. נפתור אותו בעזרת נוסחת אינטגרציה:

=-\arcsin t +c

נחבר את שני האינטגרלים ונקבל:

-\int\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}dt=

=\int\sqrt{1-t^2}dt-\int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=

=\frac{1}{2}(t\sqrt{1-t^2}+\arcsin t) -\arcsin t +c=

נחזור למשתנה x:

=\frac{1}{2}(\sqrt{x}\sqrt{1-x}+\arcsin \sqrt{x})-\arcsin \sqrt{x} +c=

=\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1-x}-\frac{1}{2}\arcsin \sqrt{x} +c

נחבר גם את החלק הראשון מתחילת התרגיל ונקבל:

\int \arcsin \sqrt {x} dx=

=x\arcsin\sqrt{x}-\int\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}dt=

=x\arcsin\sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1-x}-\frac{1}{2}\arcsin \sqrt{x} +c=

=(x-\frac{1}{2})\arcsin\sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1-x}+c

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה