נקודות קיצון מוחלטות

מה ההבדל בין נקודת קיצון מוחלטת (גלובלית) לנקודת קיצון מקומית?

נקודת קיצון מקומית היא נקודה שבה הפונקציה מקבלת ערך מקסימלי (נקודת מקסימום מקומית) או ערך מינימלי (נקודת מינימום מקומית) בסביבה קטנה סימטרית (=משני צידי הנקודה) סביב הנקודה. לעומת זאת, נקודת קיצון מוחלטת היא נקודה שבה הפונקציה מקבלת ערך מקסימלי (נקודת מקסימום מוחלטת) או ערך מינימלי (נקודת מינימום מוחלטת) בתחום נתון. התחום יכול להיות קטע פתוח, קטע סגור או אפילו כל ציר x.

לפי משפט וורשטראס השני, אם הפונקציה

f(x)

מוגדרת ורציפה בקטע הסגור

[a,b]

אז יש לפונקציה נקודות קיצון (מינימום ומקסימום) מוחלטות בקטע. 

איך נמצא את נקודות הקיצון המוחלטות?

1. נגזור את הפונקציה.
2. נמצא נקודות קיצון מקומיות בקטע על ידי השוואת הנגזרת לאפס. ניקח רק את הפתרונות שנמצאים בתוך הקטע, ונחשב את ערך הפונקציה בהן.
3. נחשב את ערכי הפונקציה בקצות הקטע.

הנקודה בעלת הערך הגבוה ביותר היא נקודת מקסימום מוחלטת, והנקודה בעלת הערך הנמוך ביותר היא נקודת מינימום מוחלטת.

הערה: בנקודה 2 לא לשכוח נקודות בקטע, שהנגזרת אינה מוגדרת בהן, אבל כן מוגדרת בפונקציה. גם הו חשודות לקיצון מקומי, ולכן גם למוחלט.

ואם הקטע הנתון אינו קטע סגור?

במקרה כזה, אם הפונקציה רציפה בכל התחום הנתון, נעשה את השלבים האלה:

1. נחשב עדיין את נקודות הקיצון המקומיות. הן עדיין חשודות לקיצון מוחלט.
2. אם הקטע חצי סגור, אז הנקודה בקצה הסגור חשודה גם היא ונחשב את ערכה כמו בנקודה 3 לעיל.
3. לכל קצה פתוח נצטרך לחשב את הגבול של הפונקציה בנקודה.

שימו לב שכאשר התחום אינו קטע סגור, לא בטוח שיש לפונקציה מינימום ומקסימום מוחלטים. ייתכן שיהיו וייתכן שלא. 

אם יש נקודות אי-רציפות בתוך הקטע, חשבו את הגבולות החד-צדדיים לנקודות ואז תדעו איך הפונקציה מתנהגת.

דוגמה

מצאו נקודות קיצון מוחלטות לפונקציה:

f(x)=\frac{1}{1-x}

בקטע:

[0,1)

נמצא נקודות קיצון מקומיות. לשם כך, נגזור ונשווה לאפס:

f'(x)=-\frac{1}{{(1-x)}^2}\cdot (-1)=\frac{1}{{(1-x)}^2}>0

קיבלנו שהנגזרת גדולה מאפס לכל x, ולכן הפונקציה עולה לכל x ואין לה נקודות קיצון מקומיות. נחשב את הערכים של הפונקציה בקצות הקטע. את הנקודה בקצה הסגור נציב בפונקציה:

f(0)=1

את הנקודה בקצה הפתוח – נצטרך לחשב את הגבול של הפונקציה לנקודה:

\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{1-x}=\infty

לכן, קיבלנו שיש לפונקציה ערך מינימלי בכל התחום בנקודה x=0, כלומר הנקודה היא נקודת מינימום מוחלטת והערך המינימלי הוא ערך הפונקציה בנקודה:

\min f(x)=1

אבל אין לפונקציה נקודת מקסימום מוחלטת, כי הפונקציה שואפת לאינסוף בקצה השני של התחום, ולכן אין לה ערך מקסימלי.

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות בנושא זה

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂