fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

משפט לגרנז’ – הוכחת אי-שוויון – תרגיל 2151

תרגיל 

הוכיחו שלכל n טבעי ולכל x ממשי, המקיים

x\geq 0

מתקיים:

{(1+x)}^n\leq 1+nx

הוכחה

נשים לב שהאיברים באי-שוויון הם פונקציה וביטוי שמזכיר את הנגזרת שלה. לכן, ננסה להשתמש במשפט לגרנז’, כי בנוסחה שלו צריך גם פונקציה וגם את הנגזרת שלה. לשם כך, נגדיר:

f(x)={(1+x)}^n

הפונקציה רציפה לכל x, בפרט בקטע הסגור:

[0,x]

כמו כן, הפונקציה גזירה לכל x, בפרט הקטע הפתוח

(0,x)

לכן, ממשפט לגרנז’ נובע שקיימת נקודה c בקטע:

 0<c<x

המקיימת:

f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}

נציב את את הפונקציה שלנו ואת הנגזרת:

n{(1+c)}^{n-1}=\frac{{(1+x)}^n-1}{x}

nx{(1+c)}^{n-1}={(1+x)}^n-1

nx{(1+c)}^{n-1}+1={(1+x)}^n

הביטוי:

{(1+c)}^{n-1}

גדול מאחד, ולכן אם נסיר אותו נקבל משהו יותר קטן. וכך מקבלים:

nx\leq{(1+x)}^n-1

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה