fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הוכחת גבול לפי הגדרה – פונקציה שואפת למינוס אינסוף – תרגיל 237

תרגיל

הוכיחו שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty } - e^ { x } = - \infty

הוכחה

ניקח

m < 0

צריך למצוא

T > 0

כך שלכל x המקיים:

x > T

יתקיים:

f ( x ) < m

לשם כך, נניח שמתקיים:

x > T

ונוכיח בעזרת ההנחה הזאת שמתקיים:

f ( x ) < m

כדי להוכיח זאת, נפַתח את הביטוי באגף השמאלי עד שנגיע לביטוי שבו המשתנה מופיע רק כפי שהוא מופיע בהנחה, במקרה שלנו רק x.

נעשה זאת כך:

f ( x ) = - e^ { x }

הגענו לביטוי שהמשתנה מופיע בו כפי שהוא מופיע בהנחה שלנו.

כעת, בחישוב בצד נניח שמתקיים:

- e^ { x } < m

נבודד את x:

e^ { x } > - m

\ln { e^ { x }} > \ln ( {- m } )

x > \ln ( {- m } )

ונגדיר:

T = \ln ( {- m } )

עכשיו, נראה שההגדרה שלנו אכן מסיימת את ההוכחה כנדרש. ראשית,

f ( x ) = - e^ { x }

נשתמש בהנחה ונקבל:

- e^ { x } < - e^ { T }

נשתמש בהגדרה שלנו ונקבל:

- e^ { T } = - e^ { \ln ( {- m } ) } = - ( - m ) = m

לסיכום, קיבלנו:

f ( x ) < m

וזה אומר לפי הגדרת גבול שמתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty } - e^ { x } = - \infty

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה